Масса пластинки через двойной интеграл

Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область (R) в плоскости (Oxy.) Пусть плотность пластины в точке (left(
ight)) в области (R) равна (
ho left(
ight).) Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде [m = iintlimits_R <
ho left(
ight)dA> .] Статический момент пластины относительно оси (Ox) определяется формулой [ = iintlimits_R
ight)dA> .] Аналогично находится статический момент пластины относительно оси (Oy) : [ = iintlimits_R
ight)dA> .] Координаты центра масс пластины , занимающей область (R) в плоскости (Oxy) с плотностью, распределенной по закону (
ho left(
ight),) описываются формулами [ <ar x = frac<<>> > = <frac<1>iintlimits_R
ight)dA> > = <frac<<iintlimits_R
ight)dA> >> <<iintlimits_R <
ho left(
ight)dA> >>,> ] [ <ar y = frac<<>> > = <frac<1>iintlimits_R
ight)dA> > = <frac<<iintlimits_R
ight)dA> >> <<iintlimits_R <
ho left(
ight)dA> >>.> ] Для однородной пластины с плотностью (
ho left(
ight) = 1) для всех (left(
ight)) в области (R) центр масс определяется только формой области и называется центроидом .

Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть (
ight)>) является непрерывной функцией в замкнутой области (R) в плоскости (Oxy.) Среднее значение (mu) функции (
ight)>) в области (R) определяется формулой [mu = frac<1>iintlimits_R
ight)dA> ,] где (S = iintlimits_R ) − площадь области интегрирования (R.)

Для однородной пластины с плотностью для всех в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом .

где − площадь области интегрирования R .

Пример 1 Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и .

Пример 2 Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми (рисунок 2) и имеющего плотность .

Пример 3 Электрический заряд по площади диска таким образом, что его поверхностная плотность равна . Вычислить полный заряд диска.

Физические приложения криволинейных интегралов

С помощью криволинейных интегралов вычисляются

• Масса кривой;
• Центр масс и моменты инерции кривой;
• Работа при перемещении тела в силовом поле;
• Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);
• Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

− так называемые моменты первого порядка .

Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются формулами

где − сила, действующая на тело, − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение означает скалярное произведение векторов и .

Заметим, что силовое поле не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поля задано в координатной форме в виде

Если траектория движения C определена через параметр t ( t часто означает время), то формула для вычисления работы принимает вид

где t изменяется в интервале от α до β .

Если векторное поле потенциально , то работа по перемещению тела из точки A в точку B выражается формулой

где – магнитная проницаемость ваккуума , равная Н/м.

Закон Фарадея Электродвижущая сила наведенная в замкнутом контуре C , равна скорости изменения магнитного потока, проходящего через данный контур

Пример Тело массой m брошено под углом к горизонту α с начальной скоростью v 0 . Вычислить работу силы притяжения за время движения тела до момента соударения с землей.

Найти массу цилиндрической оболочки, заданной параметрически в виде , где (рисунок 2 выше). Плотность оболочки определяется функцией .

Пример 5 Найти силу притяжения между полусферой с постоянной плотностью μ 0 радиусом r с центром в начале координат и точечной массой m , расположенной в начале координат.

Механические приложения двойного интеграла

1. Услуги проектирования
2. Двойной интеграл
3. Механические приложения двойного интеграла

Будем считать, что $mathbf < extit < D >> $ – неоднородная плоская пластина с поверхностной плотностью материала в точке $P$ равной $mu (P)$. В механике $mu (P)$ определяется так. Точка $P$ окружается малой областью $mathbf < extit < S >> $, находится масса $mathbf < extit < m >> (mathbf < extit < S >> )$ и площадь этой области < площадь тоже будем обозначать буквой $mathbf < extit < S >> $ > и $mu (P)=mathop < lim >limits_ < diam(S) o 0 >frac < m(S) > < S >$.

Для нахождения массы по заданной плотности мы решим обратную задачу. Разобьём $mathbf < extit < D >> $ на малые подобласти $mathbf < extit < D >> _ < 1 >$, $mathbf < extit < D >> _ < 2 >$,$mathbf < extit < D >> _ < 3 >, < ldots >, mathbf < extit < D >> _ < n >$, в каждой из подобластей $mathbf < extit < D >> _ < i >$ выберем произвольную точку $mathbf < extit < P >> _ < i >$, и, считая что в пределах $mathbf < extit < D >> _ < i >$ плотность постоянна и равна $mu (P_i )$, получим, что масса $mathbf < extit < D >> _ < i >$ приближённо есть $mu (P_i )cdot s(D_i )$, а масса всей пластины $sumlimits_ < i=1 >^n < mu (P_i )cdot s(D_i ) >$.

Это интегральная сумма, при уменьшении $d=mathop < max >limits_ < i=1,2,ldots ,n >diam(D_i )$ точность приближения увеличивается, и в пределе $m(D)=mathop < lim >limits_ < egin < l >d o 0 \ (n o infty ) \ end > sumlimits_ < i=1 >^n < mu (P_i )cdot Delta s(D_i ) >=iintlimits_D < mu (P)ds >$.

Аналогично находятся другие параметры пластины:

Координаты центра тяжести

Моменты инерции пластины

Пластина расположена в области (R) и ее плотность в точке ( < left( < x,y >
ight) > ) равна ( <
ho left( < x,y >
ight) > ).

Масса пластины

(m = largeiintlimits_R
ormalsize <
ho left( < x,y >
ight)dA > )

Статические моменты пластины

Момент пластины относительно оси (Ox) определяется формулой

Аналогично, момент пластины относительно оси (Oy) выражается в виде

Координаты центра масс пластины

• (ar x = largefrac < < < M_y >> >< m >
  ormalsize = largefrac < 1 >< m >
  ormalsize largeiintlimits_R
  ormalsize < x
  ho left( < x,y >
  ight)dA > = largefrac < < iintlimits_R < x
  ho left( < x,y >
  ight)dA > > >< < iintlimits_R <
  ho left( < x,y >
  ight)dA > > >
  ormalsize,;)
• (ar y = largefrac < < < M_x >> >< m >
  ormalsize = largefrac < 1 >< m >
  ormalsize largeiintlimits_R
  ormalsize < y
  ho left( < x,y >
  ight)dA > = largefrac < < iintlimits_R < y
  ho left( < x,y >
  ight)dA > > >< < iintlimits_R <
  ho left( < x,y >
  ight)dA > > >
  ormalsize ).

Заряд пластины

(Q = largeiintlimits_R
ormalsize < sigma left( < x,y >
ight)dA > ),

где электрический заряд распределен по области (R) и его плотность в точке ( < left( < x,y >
ight) > ) равна ( < sigma left( < x,y >
ight) > ).

Среднее значение функции

(mu = largefrac < 1 > < S >iintlimits_R
ormalsize < fleft( < x,y >
ight)dA > ,;) где (S = largeiintlimits_R
ormalsize < dA >).

Найти параметры неоднородной плоской пластины, ограниченной кривыми

$D:left[ < egin < l >y=x^2, \ y=4; \ end >
ight.$ если плотность $mu (x,y)=y+1$.

Решение:

Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми (x + y = 1,) (x = 0,) (y = 0) и имеющего плотность $
ho left( < x,y >
ight) = xy.$

Решение:

Электрический заряд распределен по площади диска ( < x^2 >+ < y^2 >= 1) таким образом, что его поверхностная плотность равна $sigma left( < x,y >
ight) = 1 + < x^2 >+ < y^2 >;left( < ext < Кл/м >^2 >
ight)$ Вычислить полный заряд диска.

Решение:

В полярных координатах область, занятая диском, описывается множеством (left[< left( < r, heta >
ight)|;0 le r le 1,0 le heta le 2pi >
ight].)

Далее:

Примеры применения цилиндрических и сферических координат

Вычисление двойного интеграла. Двукратный интеграл

Класс $S$. Теорема о замкнyтости класса $S$

Полином Жегалкина. Теорема о представлении в виде полинома Жегалкина

Вычисление площадей плоских областей

Критерий полноты <формулировка>. Лемма о нелинейной функции

Определение криволинейного интеграла второго рода

Частные случаи векторных полей

Теорема об алгоритме распознавания полноты

Замыкание. Свойства замыкания. Теорема о сведении к заведомо полной системе

Теорема об аналоге СДНФ в Pk

Класс $T_1$. Теорема о замкнутости класса $T_1$

Упрощение логических функций

Вычисление поверхностного интеграла второго рода

Класс $L$. Теорема о замкнyтости класса $L$

Огравление $Rightarrow $