Метод хорд и касательных в excel

При прохождении темы численные методы учащиеся уже умеют работать с электронными таблицами и составлять программы на языке паскаль. Работа комбинированного характера.Расчитана на 40 минут. Цель работы повторить и закрепить навыки паботы с программами EXCEL, ABCPascal. Материал содержит 2 файла. Один содержит теоретический материал, так как он и предлагается ученику . Во 2-м файле пример работы ученика Иванова Ивана.

Скачать:

Вложение Размер
материал для ученика 57.5 КБ
работа ученика 27 КБ

Предварительный просмотр:

Аналитическое решение некоторых уравнений, содержащих, например тригонометрические функции может быть получено лишь для единичных частных случаев. Так, например, нет способа решить аналитически даже такое простое уравнение, как cos x=x

Численные методы позволяют найти приближенное значение корня с любой заданной точностью.

Приближённое нахождение обычно состоит из двух этапов:

1) отделение корней, т.е. установление возможно точных промежутков [a,b], в которых содержится только один корень уравнения;

2) уточнение приближённых корней, т.е. доведение их до заданной степени точности.

Мы будем рассматривать решения уравнений вида f(x)=0. Функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [а.Ь]. Значение х 0 называется корнем уравнения если f(х 0 )=0

Для отделения корней будем исходить из следующих положений:

  • Если f(a)* f(b] a, b существует, по крайней мере, один корень
  • Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], и f(a)*f(b) и f ‘(x) на интервале (a, b) сохраняет знак, то внутри отрезка [а, b] существует единственный корень уравнения

Приближённое отделение корней можно провести и графически. Для этого уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением р(х) = ф(х), где функции р(х) и ф(х] более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = р(х) и у = ф(х), искомые корни получим, как абсциссы точек пересечения этих графиков

Для уточнения корня разделим отрезок [а, b] пополам и вычислим значение функции f(х) в точке x sr =(a+b)/2. Выбираем ту из половин [a, x sr ] или [x sr ,b], на концах которых функция f(x) имеет противоположные знаки.. Продолжаем процесс деления отрезка пополам и проводим то же рассмотрение до тех пор, пока. длина [a,b] станет меньше заданной точности . В последнем случае за приближённое значение корня можно принять любую точку отрезка [a,b] (как правило, берут его середину). Алгоритм высокоэффективен, так как на каждом витке (итерации) интервал поиска сокращается вдвое; следовательно, 10 итераций сократят его в тысячу раз. Сложности могут возникнуть с отделением корня у сложных функций.

Читайте также:  Можно ли писать на рану

Для приближенного определения отрезка на котором находится корень можно воспользоваться табличным процессором, построив график функции

ПРИМЕР : Определим графически корень уравнения . Пусть f1(х) = х , a и построим графики этих функций. (График). Корень находится на интервале от 1 до 2. Здесь же уточним значение корня с точностью 0,001(на доске шапка таблицы)

Алгоритм для программной реализации

  1. а:=левая граница b:= правая граница
  2. m:= (a+b)/2 середина
  3. определяем f(a) и f(m)
  4. если f(a)*f(m)
  5. если (a-b)/2>e повторяем , начиная с пункта2

Точки графика функции на концах интервала соединяются хордой. Точка пересечения хорды и оси Ох (х*) и используется в качестве пробной. Далее рассуждаем так же, как и в предыдущем методе: если f(x a ) и f(х*) одного знака на интервале , нижняя граница переносится в точку х*; в противном случае – переносим верхнюю границу. Далее проводим новую хорду и т.д.

Осталось только уточнить, как найти х*. По сути, задача сводится к следующей: через 2 точки с неизвестными координатами (х 1 , у 1 ) и (х 2 , у 2 ) проведена прямая; найти точку пересечения этой прямой и оси Ох.

Запишем уравнение прямой по двум точках:

В точке пересечения этой прямой и оси Ох у=0, а х=х*, то есть

, откуда

процесс вычисления приближённых значений продолжается до тех пор, пока для двух последовательных приближений корня х„ и х п _1 не будет выполняться условие abs(xn-x n-1 ) е – заданная точность

Сходимость метода гораздо выше предыдущего

Алгоритм различается только в пункте вычисления серединной точки- пересечения хорды с осью абсцисс и условия останова (разность между двумя соседними точками пересечения)

Уравнения для самостоятельного решения: (отрезок в excel ищем самостоятельно)

Тема урока: «Решение нелинейных уравнений в MS Excel».

Цель урока: изучение возможностей MS Excel по решению нелинейных уравнений и практическое освоение соответствующих умений и навыков.

Тип урока: комбинированный – урок изучения нового материала и практического закрепления полученных знаний, умений и навыков.

Вид урока: сдвоенный, продолжительность – 1,5 часа.

Задачи урока:

  • обучающая – научить учащихся решать нелинейные уравнения в среде электронных таблиц MS Excel;
  • развивающая – познакомить учащихся с применением компьютеров в качестве помощников при решении уравнений;
  • воспитательная – выработать у учащихся умение рационально использовать время и возможности компьютерных технологий при решении задач.

Оборудование урока:

  • Компьютеры с OS MS Windows;
  • Программа Microsoft Excel;
  • Программа Turbo Pascal;
  • Презентация по теме, выполненная в программе Power Point;
  • Карточки с заданиями для самостоятельной работы.
Читайте также:  Микроволновка самсунг как включить разморозку

В данном уроке особое внимание уделено визуальному представлению информации – в ходе урока с помощью проектора демонстрируются слайды, подготовленные в пакете презентационной графики Microsoft Power Point.

I. Организационный момент

Учитель объявляет тему и цели урока.

II. Актуализация знаний, умений и навыков учащихся – повторение материала прошлого урока по теме «Решение нелинейных уравнений методом половинного деления»

Учащиеся повторяют указанный метод с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point метод половинного деления

Вопросы:

  • Всегда ли существуют формулы для «точного» решения уравнений?
  • Сформулируйте основное условие существования корня на заданном отрезке.
  • Запишите уравнение, позволяющее определить координаты середины отрезка.
  • Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
  • Какое действие в алгоритме повторяется?
  • Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.

III. Изобразите блок-схему алгоритма. блок-схема

IV. Практическое задание с использованием программы на языке Turbo Pascal (Учащимся разрешено использовать программу, составленную на предыдущем уроке. Было решено уравнение y = x 3 – cos(x)) метод половинного деления TP

Задания для учащихся первой группы

Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], при = 0,0001

Задания для учащихся второй группы

Найти решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1;1], определить на каком шаге циклического алгоритма будет получено решение.

V. Изучение нового материала «Решение нелинейных уравнений методом хорд»

VI. Объяснить алгоритм решения уравнения f(x)=0 на отрезке [а;в] методом хорд с помощью слайдов, подготовленных в пакете презентационной графики Microsoft Power Point. метод хорд

Вопросы:

  • Запишите уравнение, позволяющее определить координаты точки пересечения с осью ОХ.
  • Почему алгоритм решения этой задачи можно назвать циклическим?
  • Какое действие в алгоритме повторяется?
  • Определите условие, при котором действие алгоритма должно остановиться.
  • Изобразите блок-схему алгоритма блок-схема2

Этапы решения задачи

  • Содержательная постановка задачи. Решение уравнения y = x 3 – cos(x) на отрезке [–1,4; 1,4] с точностью = 0,001.
  • Визуализация решения задачи с помощью построения графика заданной функции с помощью процессора MS Excel, используя метод подбора параметра определить корень уравнения.
  • Формальная математическая модель.
  • Задание математической формулы для отыскания корня уравнения на отрезке
  • Задание системы ограничений при использовании циклического алгоритма
  • Требование к диапазону задания переменных

Для формализации модели используем математические формулы.

уравнение прямой, проходящей через две точки, где x1 = a, x2 = в, y1 = f(a), y2 = f(в).

Читайте также:  Максимальное число рабочих потоков sql

После математических преобразований уравнение примет вид .

Определим корень уравнения

  • Блок схема алгоритма решения задачи блок-схема2
  • Программа на языке Turbo Pascal метод хорд ТР
  • Заполнение расчетной таблицы в программе MS Excel метод хорд xls

Метод Хорд

В основе метода лежит линейная интерполяция по двум значениям функции f(x), имеющим противоположные знаки. Через точки, соединяющие значения функций f(a) и f(b) на концах отрезка [a,b], проводят прямую пересекающую ось в точке .

Рисунок 1.1.1 – Метод Хорд в MS Excel в режиме отображения значений

Рисунок 1.1.2 – Геометрический смысл метода Хорд

Рисунок 1.1.3 – Метод Хорд в MS Excel в режиме отображения формул

Метод Ньютона

В методе Ньютона для нахождения корня используют значения производной. Этот метод основан на замене исходной функции f(x) на каждом шаге поиска касательной, проведенной в этой точке. Пересечение касательной с осью х дает приближенное значение.

Значение xn-1 соответствует точке, в которой касательная к кривой в точке xn пересекает ось х. Так как кривая f(x) отлична от прямой, то значение функции f(xn+1) не будет в точности равно нулю. Поэтому вся процедура повторяется, причем вместо xn используют xn+1 будет меньше или равна числу е, т.е. ?xn-xn+1??е

Рисунок 1.2.1 – Метод Ньютона в MS Excel в режиме отображения значений

Рисунок 1.2.2 – Геометрический смысл метода Ньютона

Рисунок 1.2.3 – Метод Ньютона в MS Excel в режиме отображения формул

Метод половинного деления

Алгоритм решения задачи методом половинного деления состоит из следующих операций. трезок [a,b] делят пополам точкой с (с=(a+b)/2) и находят значение функции в точке с.Если f(c)=0,то корень уравнения соответствует точке с. Если f(c)?0, то можно сузить диапазон поиска корня. Если f(a)f(c) 0, то корень находится на отрезке [c,b], и точку с будем считать точкой a. Каждый такой шаг уменьшаем в два раза интервал, в котором находится корень уравнения f(x)=0. После нескольких шагов получится отрезок, длина которого будет меньше или равна числу е, т.е.?a-b ??е. Любая точка отрезка, например один из его концов ,подходит в качестве решения поставленной задачи.

Рисунок 1.3.1 – Метод Половинного деления в MS Excel в режиме отображения значений

Рисунок 1.3.2 – Геометрический смысл метода половинного деления

Рисунок 1.3.2 Метод половинного деления в MS Excel в режиме отображения формул

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector