Метод саррюса для матрицы 4 порядка

Правило Саррюса — метод вычисления определителя матрицы третьего порядка. Наряду с правилом треугольника призвано внести в процесс вычисления определителя наглядность, уменьшив тем самым вероятность возникновения ошибки. Названо по имени французского математика Пьера Фредерика Саррюса.

Для матрицы 3 × 3 <displaystyle 3 imes 3> :

A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) <displaystyle A=<egina_<11>&a_<12>&a_<13>\a_<21>&a_<22>&a_<23>\a_<31>&a_<32>&a_<33>end>>

детерминант находится суммированием шести произведений из трёх элементов. Действие выполняется согласно следующей схеме:

Первые два столбца матрицы записываются справа возле матрицы. Произведения элементов, стоящих на линиях с пометкой «плюс», складываются, затем из результата вычитаются произведения элементов, находящихся на линиях с пометкой «минус»:

det ( A ) = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − a 13 a 22 a 31 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 <displaystyle det(A)=a_<11>a_<22>a_<33>+a_<12>a_<23>a_<31>+a_<13>a_<21>a_<32>-a_<13>a_<22>a_<31>-a_<11>a_<23>a_<32>-a_<12>a_<21>a_<33>>

«Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их
Д. Пойа (1887-1985 г.)

(Математик. Внёс большой вклад в популяризацию математики. Написал несколько книг о том, как решают задачи и как надо учить решать задачи.)

С каждой квадратной матрицей связывают число. Это число называется определителем матрицы. Определитель вычисляется по особым правилам и обозначается |A|, det A, ΔA.

Число строк (столбцов) определителя называется его порядком.

Определитель первого порядка матрицы равен элементу a11: |A|=a11

Не путать определитель первого порядка с модулем.

Определитель второго порядка обозначается символом

и равен i+j (в степени номер строки плюс номер столбца этого элемента) на определитель, который получается из данного в результате вычеркивания строки и столбца, где стоит этот элемент.

Читайте также:  Мини видеокамера md80 mini dv драйвер

ПРИМЕР:

Вычислить алгебраическое дополнение А21 элемента а21 .

РЕШЕНИЕ:

По определению алгебраического дополнения

Вычисление определителя произвольного порядка.Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (или столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

Например, разложение определителя 4-го порядка по первой строке выглядит следующим образом:

ПРИМЕР: Вычислить определитель

РЕШЕНИЕ: Разложим определитель по второму столбцу (Выбирать лучше ту строку (или тот столбец), где больше нулей, если они есть).

Упражнения к уроку:

1. 2; 2. -6; 3. 24; 4. 0; 5. -13; 6. -8; 7. -101; 8. -14; 9. 17.

Автор: Аникина Анна

Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий

Подпишитесь на рассылку и получайте ссылки на свежие уроки, статьи и новости

Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда!

Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .

|А|, ∆ , det A – символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:

d e t A = 1 – 2 3 1 = 1 × 1 – 3 × ( – 2 ) = 1 + 6 = 7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:

  • правило треугольника;
  • правило Саррюса.

Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 – a 31 × a 22 × a 13 – a 21 × a 12 × a 33 – a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 1 5 – 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 – 1 = 1 × 2 × ( – 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 – 1 × 2 × 4 – 0 × 3 × ( – 1 ) – 5 × 1 × 1 = ( – 2 ) + 3 + 0 – 8 – 0 – 5 = – 12

Читайте также:  Микрофон используется другим приложением

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

  • дописать слева от определителя два первых столбца;
  • перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
  • перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 – a 31 × a 22 × a 13 – a 21 × a 12 × a 33 – a 11 × a 23 × a 32

А = 1 3 4 0 2 1 – 2 5 – 1 1 3 0 2 – 2 5 = 1 × 2 × ( – 1 ) + 3 × 1 × ( – 2 ) + 4 × 0 × 5 – 4 × 2 × ( – 2 ) – 1 × 1 × 5 – 3 × 0 × ( – 1 ) = – 2 – 6 + 0 + 16 – 5 – 0 = 3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

  • разложением по элементам строки;
  • разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Разложение матрицы по элементам строки:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n

Разложение матрицы по элементам столбца:

d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

А = 0 1 – 1 3 2 1 0 0 – 2 4 5 1 3 2 1 0

  • раскладываем по 2-ой строке:

А = 0 1 – 1 3 2 1 0 0 – 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( – 1 ) 3 × 1 – 1 3 – 2 5 1 3 1 0 = – 2 × 1 – 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 – 1 3 – 2 5 1 3 1 0

  • раскладываем по 4-му столбцу:

А = 0 1 – 1 3 2 1 0 0 – 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( – 1 ) 5 × 2 1 0 – 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( – 1 ) 7 × 0 1 – 1 2 1 0 3 2 1 = – 3 × 2 1 0 – 2 4 5 3 2 1 – 1 × 0 1 – 1 2 1 0 3 2 1

Читайте также:  Можно ли хранить рентгеновские снимки

Свойства определителя

  • если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
  • если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
  • определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Пример 6

А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10

Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector