Момент инерции бесконечно тонкого кольца

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

, (4.14)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать IA = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера IA = IC + m(l/2) 2 . Величину IC можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, IC = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

,

откуда k = 1/3. В результате находим

(4.15)

(4.16)

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии IX = IУ.

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dIz = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

(4.18)

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

Читайте также:  Материнская плата asus установка windows 7

Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии IX = IY = IZ = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

. (4.20)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9123 – | 7290 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину 2 . Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений [ уточнить ] , который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание Изображение Моменты инерции Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m I = m r 2 <displaystyle I=mr^<2>> [1] Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2.

Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.

Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r1, внешнего радиуса r2, длиной h и массой m I z = 1 2 m ( r 1 2 + r 2 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><2>>mleft(<1>>^<2>+<2>>^<2>
ight)> [1] [2]
I x = I y = 1 12 m [ 3 ( r 2 2 + r 1 2 ) + h 2 ] <displaystyle I_=I_=<frac <1><12>>mleft[3left(<2>>^<2>+<1>>^<2>
ight)+h^<2>
ight]>
или при определении нормированной толщины tn = t/r и полагая r = r2,
тогда I z = m r 2 ( 1 − t n + 1 2 t n 2 ) <displaystyle I_
=mr^<2>left(1-t_+<frac <1><2>>>^<2>
ight)>
При плотности ρ и той же геометрии: I z = 1 2 π ρ h ( r 2 4 − r 1 4 ) <displaystyle I_=<frac <1><2>>pi
ho hleft(<2>>^<4>-<1>>^<4>
ight)>
Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m I z = m r 2 2 <displaystyle I_=<frac <2>><2>>> [1]
I x = I y = 1 12 m ( 3 r 2 + h 2 ) <displaystyle I_=I_=<frac <1><12>>mleft(3r^<2>+h^<2>
ight)>
Это частный случай предыдущего объекта при r1=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами) Тонкий твердый диск радиуса r и массы m I z = m r 2 2 <displaystyle I_=<frac <2>><2>>>
I x = I y = m r 2 4 <displaystyle I_=I_=<frac <2>><4>>>
Это частный случай предыдущего объекта при h=0. Тонкое кольцо радиуса r и массы m I z = m r 2 <displaystyle I_=mr^<2>>
I x = I y = m r 2 2 <displaystyle I_=I_=<frac <2>><2>>>
Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r1=r2 и h=0. Твёрдый шар радиуса r и массы m I = 2 m r 2 5 <displaystyle I=<frac <2mr^<2>><5>>> [1] Шар можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r. Пустотелая сфера радиуса r и массы m I = 2 m r 2 3 <displaystyle I=<frac <2mr^<2>><3>>> [1] Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец. Твёрдый эллипсоид с полуосями a, b и c, с осью вращения a и массой m I a = m ( b 2 + c 2 ) 5 <displaystyle I_=<frac <2>+c^<2>)><5>>> — Прямой круговой конус радиуса r, высоты h и массы m I z = 3 10 m r 2 <displaystyle I_=<frac <3><10>>mr^<2>> [3]
I x = I y = 3 5 m ( r 2 4 + h 2 ) <displaystyle I_=I_=<frac <3><5>>mleft(<frac <2>><4>>+h^<2>
ight)> [3]
— Твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой m I h = 1 12 m ( w 2 + d 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><12>>mleft(w^<2>+d^<2>
ight)>
I w = 1 12 m ( h 2 + d 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><12>>mleft(h^<2>+d^<2>
ight)>
I d = 1 12 m ( h 2 + w 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><12>>mleft(h^<2>+w^<2>
ight)>
Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра s <displaystyle s> , I C M = m s 2 6 <displaystyle I_=<frac <2>><6>>> . Твёрдый кубоид с высотой D, шириной W, длиной L, массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали. I = m ( W 2 D 2 + L 2 D 2 + W 2 L 2 ) 6 ( L 2 + W 2 + D 2 ) <displaystyle I=<frac <2>D^<2>+L^<2>D^<2>+W^<2>L^<2>
ight)><6left(L^<2>+W^<2>+D^<2>
ight)>>> Для куба с длиной ребра s <displaystyle s> , I = m s 2 6 <displaystyle I=<frac <2>><6>>> . Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m I c = m ( h 2 + w 2 ) 12 <displaystyle I_=<frac <2>+w^<2>)><12>>> [1] — Стержень длины L и массы m I c e n t e r = m L 2 12 <displaystyle I_<mathrm
>=<frac <2>><12>>> [1]
Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = . Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m
(Ось вращения в конце пластины) I e = m h 2 3 + m w 2 12 <displaystyle I_=<frac <2>><3>>+<frac <2>><12>>> — Стержень длины L и массы m
(Ось вращения на конце стержня) I e n d = m L 2 3 <displaystyle I_<mathrm >=<frac <2>><3>>> [1] Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = . Тороидальная труба радиуса a, радиуса сечения b и массы m. Ось вращения относительно диаметра: 1 8 ( 4 a 2 + 5 b 2 ) m <displaystyle <frac <1><8>>left(4a^<2>+5b^<2>
ight)m> [4]
Ось вращения относительно вертикальной оси: ( a 2 + 3 4 b 2 ) m <displaystyle left(a^<2>+<frac <3><4>>b^<2>
ight)m> [4] — Плоскость многоугольника с вершинами P → 1 <displaystyle <vec
Читайте также:  Мой билайн личный кабинет войти по номеру

>_<1>> , P → 2 <displaystyle <vec

>_<2>> , P → 3 <displaystyle <vec

>_<3>> , . P → N <displaystyle <vec

>_> и массой m <displaystyle m> , равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.

I = m 6 ∑ n = 1 N − 1 ‖ P → n + 1 × P → n ‖ ( P → n + 1 2 + P → n + 1 ⋅ P → n + P → n 2 ) ∑ n = 1 N − 1 ‖ P → n + 1 × P → n ‖ <displaystyle I=<frac <6>><frac <sum limits _^|<vec

>_ imes <vec

>_|(<vec

>_^<2>+<vec

>_cdot <vec

>_+<vec

>_^<2>)><sum limits _^|<vec

>_ imes <vec

>_|>>>

— Бесконечный диск с нормально распределенной вокруг осей вращения массой по двум координатам

(т.е. ρ ( x , y ) = m 2 π a b e − ( ( x / a ) 2 + ( y / b ) 2 ) / 2 <displaystyle
ho (x,y)=< frac <2pi ab>>,e^<-((x/a)^<2>+(y/b)^<2>)/2>>

где: ρ ( x , y ) <displaystyle
ho (x,y)> — плотность масс как функция x и y).

·Момент инерции однородного тонкого стержня массы М длиной l относительно оси, проходящей через конец стержня перпендикулярно к нему (рис.24).

Используя соотношение (3.11) и учтя, что , получим:

.
. (3.17)

Если ось z’ проходит через середину стержня, то, изменив пределы интегрирования, несложно получить:

. (3.18)

· Момент инерции однородной окружности (тонкого кольца) массы М радиуса r относительно оси, проходящей через центр окружности перпендикулярно ее плоскости (рис. 25).

Используя соотношение (3.11) и учтя, что

,

.

. (3.19)

Момент инерции однородного кругового полого цилиндра относительно его оси определяется также по соотношению (3.19).

· Момент инерции однородного тонкого диска массы М радиуса r относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно его плоскости (рис. 26).

Используя соотношение (3.11) и учтя, что

( – площадь бесконечно тонкого кольца), получим:

.
. (3.20)

Момент инерции однородного круглого сплошного цилиндра относительно его оси определяется также соотношением (3.20).

· Радиус инерции. В случае сложной конфигурации НМС его момент инерции определяется экспериментально и может быть выражен через радиус инерции. В этом случае момент инерции определяется по формуле:

Читайте также:  Мощность потребляемая резистором формула

, (3.21)

где ­­­­­– радиус инерции.

3.3.4. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей – теорема Штейнера-Гюйгенса

Теорема: Момент инерции СМТ относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс, и произведения массы СМТ на квадрат расстояния между осями.

Пусть известен момент инерции СМТ относительно оси Cz, проходящей через ее центр масс С. Найдем момент инерции СМТ относительно оси Оz’, параллельной оси z и отстоящей от нее на расстояние d (рис. 27).

Начало декартовой системы координат выберем в центре масс С, ось Сy проведем так, чтобы она пересекала ось Оz’.

Возьмем произвольную точку Вn СМТ массы mn с координатами xn, yn, zn. Расстояние от этой точки до оси Cz – hn, а до оси Оz’ – .

На основании соотношения (3.8) момент инерции СМТ относительно оси Оz’ имеет вид:

.

Для треугольника СОD из теоремы косинусов следует, что

,

, так как .

Подставив в выражение для , будем иметь:

.

Так как , и ,

то для получим:

, (3.22)

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector