Момент инерции однородного диска относительно оси

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

, (4.14)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать IA = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера IA = IC + m(l/2) 2 . Величину IC можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, IC = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

,

откуда k = 1/3. В результате находим

(4.15)

(4.16)

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии IX = IУ.

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dIz = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

(4.18)

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии IX = IY = IZ = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

Читайте также:  Мойка для кухни из нержавеющей стали отзывы

. (4.20)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10220 – | 7589 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Читайте также:  М видео акция на самсунг

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.


Загрузить всю книгу

§39. Момент инерции

В предыдущем параграфе момент инерции был определен как сумма произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от оси [см

В предыдущем параграфе момент инерции был определен как сумма произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от оси [см. (38.2)]. Из определения следует, что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Распределение массы в пределах тела можно охарактеризовать с помощью величины, называемой плотностью. Если тело однородно, т. е. свойства его во всех точках одинаковы, то плотностью называется величина, равная

где m —масса тела, а V — его объем. Таким образом, в случае однородного тела плотность представляет собой массу единицы объема тела.

Для тела с неравномерно распределенной массой выражение (39.1) дает среднюю плотность. Плотность в данной точке определяется в этом случае следующим образом:

В этом выражении Δm — масса, заключенная в объеме Δ V , который при предельном переходе стягивается к той точке, в которой определяется плотность.

Предельный переход в (39.2) нельзя понимать так, что Δ V стягивается буквально в точку. При таком понимании для двух практически совпадающих точек, одна из которых приходится на ядро атома, а другая — на промежуток между ядрами, получался бы сильно отличающийся результат (для первой точки огромная величина, для второй — нуль). Поэтому уменьшение Δ V следует производить до тех пор, пока не будет получен физически бесконечно малый объем, под которым понимают такой объём, который, с одной стороны, достаточно мал для того, чтобы макроскопические (т. е. присущие большой совокупности атомов) свойства в пределах его можно было считать одинаковыми, а с другой стороны, достаточно велик для того, чтобы не могла проявиться дискретность (прерывность) вещества.

Согласно (39.2) элементарная масса Δ mi равна произведению плотности тела р i в данной точке на соответствующий элементарный объем Δ Vi :

Следовательно, момент инерции можно представить в виде

[мы заменили R i в формуле (38.2) на r i ].

Если плотность тела постоянна, ее можно вынести за знак суммы:

Соотношения (39.3) и (39.4) являются приближенными, причем тем более точными, чем меньше элементарные объемы Δ Vi и соответствующие им элементарные массы Δ mi . Следовательно, задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию:

Интегралы в (39.5) берутся по всему объему тела. Величины ρ и r в этих интегралах являются функциями точки, т. е., например, декартовых координат х, у и z .

В качестве примера найдем момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис 102).

Разобьем диск на кольцевые слои толщиной dr. Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном r . Объем такого слоя равен

где b — толщина диска.

Читайте также:  Машинка зингер старого образца

Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова и ρ в (39.5) можно вынести за знак интеграла:

где R – радиус диска. Вынесем за знак интеграла постоянный множитель 2πb:

Наконец, введя массу диска m, равную произведению плотности ρ на объем диска bπR 2 , получим:

Нахождение момента инерции в рассмотренном примере значительно упрощалось вследствие того, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции мы искали относительно оси симметрии. Если бы мы за хотели найти момент инерции диска относительно, например, оси О’О’, перпендикулярной к диску и проходящей через его край (см. рис. 102), вычисления, очевидно, оказались бы гораздо более сложными. В подобных случаях нахождение момента инерции значительно облегчается, если воспользоваться теоремой Штейнера, которая формулируется следующим образом: момент инерции I относительно произвольной оси равен сумме момента инерции I0 относительно оси, параллельной данной и проходящей черев центр инерции тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния а между осями:

В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции диска относительно оси О’О’ ранен найденному нами моменту инерции (39.6) относительна оси, проходящей через центр диска, плюс mR 2 (расстояние между осями О’О’ и OO равно радиусу диска R):

Таким образом, теорема Штейнера, по существу, сводит вычисление момента инерции относительно произвольной оси к вычислению момента инерции относительно оси, проходящей через центр инерции тела.

Для доказательства теоремы Штейнера рассмотрим тело произвольной формы (рис. 103), Возьмем две параллельные друг другу оси ОО и О’О’ из которых одна (ось ОО) проходит через центр инерции тела. Свяжем с этими осями координатные оси xyz и x’y’ z ‘, которые выберем так, чтобы ось z совпадала с осью OO, а ось z ‘ — с осью О’О’ (на рис. 103 эти оси перпендикулярны к плоскости чертежа).

Кроме того, оси х и х’ выберем так, чтобы они совпадали и проходили через центр инерции тела. Тогда между координатами элементарной массы Δ mi будут иметь место следующие соотношения:

где а — расстояние между осями.

Квадрат расстояния Δ mi от оси OO равен

квадрат же расстояния от оси О’О’ равен

С учетом (39.8) момент инерции тела относительно оси OO определяется выражением

а момент инерции относительно оси О’О’ [с учетом (39.9)] будет равен

Возведя в квадрат выражение, стоящее в круглых скобках, и сгруппировав соответствующим образом получившиеся слагаемые, выражение (39.11) можно привести к следующему виду:

Первая из сумм (39.12) тождественна с (39.10), т. е. представляет собой I ; вторая сумма дает ma 2 третья же сумма, как легко видеть, равна нулю. В самом деле, поскольку ось z проходит через центр инерции тела, координата x с центра инерции равна нулю. Вместе с тем по определению , откуда следует, что равна нулю.

Таким образом, выражение (39.12) принимает вид

что и требовалось доказать [см. (39.7)].

В заключение приведем значения моментов инерции для некоторых тел (тела предполагаются однородными, m — масса тела).

1. Тело представляет собой тонкий длинный стержень с сечением любой формы. Максимальный поперечный размер стержня b во много раз меньше длины

стержня l ( b l ). Момент инерции относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его середину (рис. 104), равен

2. Для диска или цилиндра при любом отношении R к l (рис. 105) момент инерции относительно оси, совпадающей с геометрической осью цилиндра, равен

3. Тело — тонкий диск. Толщина диска b во много раз меньше радиуса диска R ( b <

4. Момент инерции шара радиуса R относительно оси, проходящей через его центр, равен

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector