Момент инерции однородного стержня относительно оси

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

5.4. Момент инерции однородного стержня

В общем случае моменты инерции различных тел можно найти по формуле

где m – коэффициент пропорциональности, который зависит от формы тела и его расположения относительно оси вращения.

Найдем момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через один из его концов, перпендикулярно продольной геометрической оси симметрии (рис. 5.2).

Пусть ось вращения ВВ проходит через правый конец стержня (точка Г), тогда

где L – длина стержня.

.

Величину момента инерции I c относительно оси, проходящей через центр масс (точка С), представим как сумму моментов инерции двух стержней с длинами ДС=СГ=L /2 и массой каждого, равной m /2 стержня, т.е.

.

Подставим значения момента инерции I и Ic в формулу теоремы Штейнера и найдем m :

.

После преобразования получим, что

Следовательно, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс,

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

, (4.14)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать IA = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера IA = IC + m(l/2) 2 . Величину IC можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, IC = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

,

откуда k = 1/3. В результате находим

(4.15)

(4.16)

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии IX = IУ.

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dIz = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

Читайте также:  Можно ли поставить пароль на приложение

(4.18)

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии IX = IY = IZ = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

. (4.20)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10615 – | 7994 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Читайте также:  Мойка воздуха xiaomi smartmi air humidifier 2

В физике для описания инерционных качеств поступательного или линейного движения пользуются понятием массы тела. Если же движение рассматривается вокруг некоторой оси вращения, то используют несколько иную физическую характеристику – момент инерции. В данной статье рассмотрим, что это за величина и как можно рассчитать момент инерции тонкого стержня.

Вращение и момент инерции

Инерции момент проще всего ввести для материальной точки. Когда она, обладая массой M, вращается вокруг оси, описывая окружность радиусом R, то момент инерции для нее определяется по формуле:

Любое реальное тело, какой бы сложной геометрической формой оно не обладало, можно представить как совокупность материальных точек. Это означает, что для всего тела или системы твердых тел величину I можно вычислить, если проинтегрировать по элементарным массам dm выражение выше. Общая формула для определения момента инерции имеет вид:

Через объем и плотность это равенство записывается в таком виде:

Его часто применяют для вычисления значений I конкретных геометрических объектов.

Физический смысл инерции момента I заключается в том, что он определяет, насколько "сложно" данной силе, создающей некоторый крутящий момент, раскрутить или остановить вращающуюся систему. Иными словами, I характеризует инерционные свойства изучаемой системы.

Самым известным примером использования момента инерции является маховик двигателя внутреннего сгорания в автомобилях. Благодаря большому значению величины I, маховик обеспечивает плавность движения автомобиля, сглаживая любые резкие воздействия на коленчатый вал. Пример иного характера, где также важно знать момент инерции, – это закон сохранения момента импульса. Применяется он для поворота вокруг оси искусственных спутников в космическом пространстве Земли.

Тонкий стержень и оси вращения

Далее будет рассмотрен момент инерции стержня относительно осей (разных). Вычисления будут проводиться для тонкого стержня, который обладает однородным распределением массы, то есть его плотность во всех точках является постоянной величиной. Под тонким понимают такой стержень, у которого ширина (толщина) намного меньше, чем его длина L. Для обозначения его массы будем использовать букву M.

Из приведенных выше формул следует, что величина I зависит от относительного положения тела и оси вращения. Для стержня можно выделить три основных оси. Одна из них проходит через длину всего стержня. Поскольку его толщина стремится к нулю, то момент инерции для такого положения тела также будет стремиться к этому значению.

Две другие оси перпендикулярны длине рассматриваемого тела. Одна из них проходит через центр масс, назовем ее O1, вторая – через конец стержня, обозначим ее O2. Относительно них и вычислим величину I.

Читайте также:  Можно ли заказывать на ebay

Момент инерции относительно O1

В первую очередь выпишем общую формулу. Имеем:

Обозначим площадь сечения стержня буквой S. Очевидно, что она стремится к нулю, поскольку стержень тонкий. Но это обозначение удобно ввести для выполнения дальнейших расчетов.

Теперь мысленно разобьем стержень на бесконечное количество мелких кусочков, каждый из которых будет иметь сечение S и толщину dl. Заменяя r на l в формуле выше, получаем:

Остается только подставить правильные пределы интегрирования и записать конечную формулу. Поскольку ось O1 проходит через середину стержня, то пределы интегрирования будут следующими:

Результатом вычисления этого интеграла является следующая формула:

Таким образом, момент инерции тонкого стержня определяется его массой и длиной.

Инерции момент относительно O2

Теперь рассмотрим ситуацию, когда ось вращения будет проходить через любой из концов стержня и будет ему перпендикулярна. Соответствующую формулу можно получить из записанного выше интеграла, если правильно подставить пределы интегрирования. Однако мы пойдем несколько иным путем и определим инерции момент с помощью теоремы Штейнера.

Она говорит о том, что если две оси являются параллельными друг другу и одна из них (ось O) проходит через центр масс тела, то момент инерции относительно второй оси может быть вычислен с помощью такого равенства:

Здесь I – момент инерции стержня относительно оси O, h – дистанция между осями.

Эту формулу можно с успехом применить для нашего случая. Поскольку I мы рассчитали в предыдущем пункте статьи относительно оси O1, и расстояние между O1 и O2 составляет L/2, то с использованием теоремы Штейнера получаем следующий результат:

Таким образом, для стержня величина I относительно оси O2 в 4 раза больше, чем относительно оси O1. Это означает, что для придания одинакового углового ускорения стержню в случае вращения вокруг оси O2 следует приложить в 4 раза больший крутящий момент, чем в случае оси O1.

Пример задачи

Дан тонкий стержень длиною 0,5 м и массой 5 кг. На расстоянии 2/5 от его конца расположена ось вращения, перпендикулярная стержню. Чему равен момент инерции системы?

Для решения задачи воспользуемся теоремой Штейнера. Расстояние между осями O1 и заданной в задаче равно:

Тогда получаем момент инерции стержня (однородного):

I = I + M*h 2 = 5*0,5 2 /12 + 5*0,05 2 = 0,117 кг*м 2 .

В СИ момент инерции стержня измеряется в указанных единицах.

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector