Момент инерции относительно начала координат интеграл

Пусть тело занимает объем (U) и его объемная плотность в точке (Mleft(
ight)) задана функцией (
holeft(
ight).) Тогда масса тела (m) вычисляется с помощью тройного интеграла: [m = iiintlimits_U <
ho left(
ight)dxdydz> .] Статические моменты тела относительно координатных плоскостей (Oxy, Oxz, Oyz) выражаются формулами [ <> = intlimits_U
ight)dxdydz> ,>;; <> = intlimits_U
ight)dxdydz> ,>;; <> = intlimits_U
ight)dxdydz> .> ] Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам: [ <ar x = frac<<
>>> = frac <<iiintlimits_U
ight)dxdydz> >> <<iiintlimits_U <
ho left(
ight)dxdydz> >>,>;; <ar y = frac<<>>>
= frac <<iiintlimits_U
ight)dxdydz> >> <<iiintlimits_U <
ho left(
ight)dxdydz> >>,>;; <ar z = frac<<
>>> = frac <<iiintlimits_U
ight)dxdydz> >> <<iiintlimits_U <
ho left(
ight)dxdydz> >>.> ] Если тело является однородным с плотностью ( <
ho left(
ight)> = 1) для точек (
ight)>) в области (U,) то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом .

Используя рассмотренные выше (6) чисел (,,,>,>,>,) можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела: [I = left( <egin<*<20>> <>&< – >>&< – >>\ < – >>&<>&< – >>\ < – >>&< – >>&<> end>
ight).] Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей (Ox’, Oy’, Oz’.) Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции , а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции .

Если тело вращается вокруг оси, не совпадаюшей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы (m) и заданного распределенного тела с плотностью ( <
ho left( <xi ,eta ,zeta >
ight)>) по формуле [mathbf = – Gm,mathbf< ext>,u,] где (G) − гравитационная постоянная.

Пусть функция u=f(x,y,z) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области T пространства Oxyz. Разобьем область T произвольным образом на n областей V1, V2,…, Vn, которые назовем элементарными областями. В каждой из элементарных областей произвольным образом выберем по точке , которые назовем точками пунктуации. Обозначим через объем, а через диаметр i-ойэлементарной области (i=1,…,n), . Составим выражение

, (7)

которое называется интегральной суммой Римана для функции u=f(x,y,z) по области T . Заметим, что выражение (7) зависит от способа разбиения области T на элементарные области и от способа выбора точек пунктуации.

Если существует предел выражения (7) при и если этот предел не зависит ни от способа разбиения области T на элементарные области, ни от способа выбора точек пунктуации, то он называется тройным интегралом от функции u=f(x,y,z) по области T и обозначается

Читайте также:  Можно ли вводить номер карты в интернете

(8)

Свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов следующим образом. Пусть область T ограничена снизу поверхностью , сверху поверхностью и с боков прямой цилиндрической поверхностью; проекцией области T на плоскость Oxy является область D (рис. 6). Такую область назовем правильной в направлении оси Oz.

Пусть функция u=f(x,y,z) определена и интегрируема в области T и для любых точек существует интеграл

.

Тогда существует интеграл

и справедлива формула

(9)

Аналогичные формулы справедливы и в случае, когда область T правильная в направлении оси Ox или оси Oy .

Теорема (о замене переменных в тройном интеграле). Пусть выполняются следующие условия:

1) функции x=x(u,v,w), y=y(u,v,w) и z=z(u,v,w) таковы, что каждой точке с координатами (x,y,z) из области T соответствует единственная точка с координатами (u,v,w) из области T1 и наоборот;

3) функция u=f(x,y,z) определена и интегрируема в области T .

Тогда справедлива формула:

, (10)

– якобиан перехода от декартовых координат к криволинейным координатам.

Частным случаем криволинейных координат для тройного интеграла являются цилиндрические и сферические координаты.

1) В случае цилиндрических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами , где и – полярные координаты проекции точки M на координатную плоскость Oxy, z – аппликата точки M (рис.7).

Имеют место формулы:

,

якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен и формула (10) принимает вид:

(11)

2) В случае сферических координат положение точки M в пространстве определяется тремя числами , где – расстояние от начала координат до точки M, – угол между проекцией радиус-вектора точки M на плоскость Oxy и осью Ox, – угол между радиус-вектором точки M и осью Oz (рис.8).

Имеют место формулы:

,

якобиан перехода от декартовых координат к сферическим равен и формула (10) принимает вид:

(12)

Задание 1. Вычислить интеграл:

,

где T – тетраэдр, ограниченный плоскостями: x+y+z=1, x=0, y=0, z=0.

Решение. Изобразим область интегрирования (рис.9).

Область интегрирования ограничена снизу плоскостью z=0, сверху плоскостью z=1-x-y, по бокам плоскостями x=0 и y=0. Проекцией области T на плоскость Oxy является область D – треугольник OAB . По формуле (9) имеем:

.

Записывая двойной интеграл по области D через повторный интеграл, получим:

И, наконец, вычислим полученный повторный интеграл:

.

Задание 2. Перейдя к цилиндрическим координатам, вычислить интеграл:

.

Решение.Изобразим область интегрирования (рис.10).

и применим формулу (11). Так как , то

Задание 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить интеграл:

.

Решение. Область интегрирования T есть полушар (рис.11).

Найдем пределы изменения сферических координат для области T1:

Следовательно, по формуле (12) имеем:

.

Вычислив полученный тройной интеграл, получим:

.

Приложения кратных интегралов

1. Геометрические приложения двойных интегралов

Площадь S плоской области (фигуры) D выражается в зависимости от рассматриваемой системы координат, следующими интегралами:

Читайте также:  Материнские платы gigabyte socket 478

(13)

– в декартовых координатах,

(14)

– в полярных координатах.

Пусть гладкая поверхность задана уравнением z=f(x,y). Тогда площадь части этой поверхности, проектирующейся в область D плоскости Oxy, равна:

(15)

Пусть область T ограничена снизу плоскостью z=0, сверху – непрерывной поверхностью z=f(x,y) и с боков прямой цилиндрической поверхностью. Если проекцией области T на плоскость Oxy является область D, то объем V области T выражается интегралом

(16)

2. Механические приложения двойных интегралов.

Масса M пластинки, занимающей область D плоскости Oxy , имеющей плотность , равна:

. (17)

Статические моменты Mx и My этойпластинки относительно осей Ox и Oy

(18)

Координаты центра масс и пластинки определяются следующим образом:

. (19)

Моменты инерции пластинки относительно осей Ox и Oy соответственно равны:

(20)

а момент инерции пластинки относительно начала координат равен:

. (21)

Заметим, что если рассматриваемая пластина однородна, то в приведенных формулах следует положить .

3. Геометрические приложения тройного интеграла

Объем V пространственной области T равен:

(22)

4.Механические приложения тройных интегралов. Масса M тела с плотностью ,занимающего область T, равна

(23)

Статические моменты Mxy, Mxz, Myz тела относительно координатных плоскостей выражаются интегралами:

(24)

Координаты центра масс тела T определяются следующим образом:

. (25)

Моменты инерции тела относительно осей координат соответственно равны:

(26)

.

Заметим, что если рассматриваемое тело однородно, то в приведенных формулах следует положить .

Задание 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

.

Решение. Данное тело ограничено снизу плоскостью z=0, сверху плоскостью y+z=1 и с боков цилиндром (рис.12а).

Проекцией рассматриваемого тела является область D (рис. 12б).

Найдем объем нашего тела двумя способами:

1) с помощью двойного интеграла;

2) с помощью тройного интеграла.

В первом случае воспользуемся формулой (16). В нашем случае f(x,y)=1-y.

.

Вычисляем полученный повторный интеграл:

Теперь найдем значение объема данного тела с помощью тройного интеграла. Для этого воспользуемся формулой (22). Имеем:

.

Вычисляем полученный тройной интеграл:

Задание 2. Найти координаты центра масс однородного тела, ограниченного поверхностями .

Решение. Данное тело изображено на рис.12а. Чтобы найти координаты центра масс рассматриваемого тела, воспользуемся формулами (25).

Найдем сначала массу тела. Для этого применим формулу (23) при , так как наше тело однородное. Имеем:

(это интеграл мы вычисляли в предыдущем примере).

Вычислим теперь статические моменты Mxy, Mxz, Myz рассматриваемого тела относительно координатных плоскостей. Для этого воспользуемся формулами (24) при . Имеем:

,

,

Вычислив полученные тройные интегралы, имеем:

Следовательно, координаты центра масс данного тела равны:

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 10615 – | 7994 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Физические приложения тройных интегралов

Масса и статические моменты тела

Пусть тело занимает объем U и его объемная плотность в точке M(x,y,z) задана функцией ρ(x,y,z). Тогда масса тела m вычисляется с помощью тройного интеграла:

Читайте также:  Материнская плата asrock z77 pro4

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz выражаются формулами

Координаты центра тяжести тела вычисляются по формулам:

Если тело является однородным с плотностью ρ(x,y,z) = 1 для точек M(x,y,z) в области U, то центр тяжести тела зависит только от геометрии тела и называется центроидом.

Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz определяются выражениями

а моменты инерции тела относительно координатных осей Ox, Oy, Oz вычисляются по формулам

Как видно, справедливы соотношения

Моментом инерции тела относительно начала координат называется интеграл

Момент инерции относительно начала координат можно выразить через моменты инерции относительно координатных плоскостей:

Тензор инерции

Используя рассмотренные выше 6 чисел Ix, Iy, Iz, Ixy, Ixz, Iyz, можно составить так называемую матрицу инерции или тензор инерции тела:

Данный тензор является симметричным, и, следовательно, его можно привести к диагональному виду при определенном выборе осей Ox’, Oy’, Oz’. Значения диагональных элементов (после приведения тензора к диагональному виду) называются главными моментами инерции, а указанные направления − собственными векторами или главными осями инерции.

Если тело вращается вокруг оси, не совпадающей с главной осью инерции, то оно будет испытывать вибрации при высоких скоростях вращения. Поэтому, при конструировании таких устройств необходимо, чтобы ось вращения совпадала с одной из главных осей инерции. Например, при замене шин автомобиля проводится их балансировка: небольшие грузики добавляются к колесам, чтобы обеспечить совпадение оси вращения с главной осью инерции и исключить вибрации.

Гравитационный потенциал и сила тяготения

Ньютоновым потенциалом тела в точке P(x,y,z) называется интеграл

где ρ(ξ,η,ζ) − плотность тела, и .

Интегрирование выполняется по всему объему тела. Зная потенциал, можно вычислить силу притяжения материальной точки массы m и заданного распределенного тела с плотностью ρ(ξ,η,ζ) по формуле

где G − гравитационная постоянная.

ПРИМЕРЫ

Пример 1.Найти центроид однородного полушара радиусом R.

Рис.1

Вычислим координату центра тяжести по формуле

Поскольку полушар однородный, то полагаем ρ(x,y,z) = ρ. Тогда

В знаменателе через V обозначен объем полушара, равный

Остается вычислить тройной интеграл . Для этого перейдем к сферическим координатам. При этом радиальную координату будем обозначать через r − чтобы не путать с плотностью ρ. Получаем:

Таким образом, координата центра тяжести равна

Пример 2.Определить массу и координаты центра тяжести единичного куба

Рис.2
Решение.

Сначала вычислим массу куба:

Теперь вычислим статические моменты Mxy, Mxz, Myz.

Вычисляем координаты центра тяжести куба:

Пример 3.Найти массу шара радиуса R, плотность γ которого пропорциональна квадрату расстояния от центра.

По условию, плотность γ задана соотношением γ = ar 2 , где a − некоторая постоянная, r − расстояние от центра. Массу шара удобно вычислить в сферических координатах:

Приложения тройного интеграла

( – плотность тела).

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector