Момент инерции параллелепипеда относительно оси

Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину 2 . Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений [ уточнить ] , который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание Изображение Моменты инерции Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m I = m r 2 <displaystyle I=mr^<2>> [1] Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2.

Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.

Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r1, внешнего радиуса r2, длиной h и массой m I z = 1 2 m ( r 1 2 + r 2 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><2>>mleft(<1>>^<2>+<2>>^<2>
ight)> [1] [2]
I x = I y = 1 12 m [ 3 ( r 2 2 + r 1 2 ) + h 2 ] <displaystyle I_=I_=<frac <1><12>>mleft[3left(<2>>^<2>+<1>>^<2>
ight)+h^<2>
ight]>
или при определении нормированной толщины tn = t/r и полагая r = r2,
тогда I z = m r 2 ( 1 − t n + 1 2 t n 2 ) <displaystyle I_
=mr^<2>left(1-t_+<frac <1><2>>>^<2>
ight)>
При плотности ρ и той же геометрии: I z = 1 2 π ρ h ( r 2 4 − r 1 4 ) <displaystyle I_=<frac <1><2>>pi
ho hleft(<2>>^<4>-<1>>^<4>
ight)>
Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m I z = m r 2 2 <displaystyle I_=<frac <2>><2>>> [1]
I x = I y = 1 12 m ( 3 r 2 + h 2 ) <displaystyle I_=I_=<frac <1><12>>mleft(3r^<2>+h^<2>
ight)>
Это частный случай предыдущего объекта при r1=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами) Тонкий твердый диск радиуса r и массы m I z = m r 2 2 <displaystyle I_=<frac <2>><2>>>
I x = I y = m r 2 4 <displaystyle I_=I_=<frac <2>><4>>>
Это частный случай предыдущего объекта при h=0. Тонкое кольцо радиуса r и массы m I z = m r 2 <displaystyle I_=mr^<2>>
I x = I y = m r 2 2 <displaystyle I_=I_=<frac <2>><2>>>
Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r1=r2 и h=0. Твёрдый шар радиуса r и массы m I = 2 m r 2 5 <displaystyle I=<frac <2mr^<2>><5>>> [1] Шар можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r. Пустотелая сфера радиуса r и массы m I = 2 m r 2 3 <displaystyle I=<frac <2mr^<2>><3>>> [1] Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец. Твёрдый эллипсоид с полуосями a, b и c, с осью вращения a и массой m I a = m ( b 2 + c 2 ) 5 <displaystyle I_=<frac <2>+c^<2>)><5>>> — Прямой круговой конус радиуса r, высоты h и массы m I z = 3 10 m r 2 <displaystyle I_=<frac <3><10>>mr^<2>> [3]
I x = I y = 3 5 m ( r 2 4 + h 2 ) <displaystyle I_=I_=<frac <3><5>>mleft(<frac <2>><4>>+h^<2>
ight)> [3]
— Твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой m I h = 1 12 m ( w 2 + d 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><12>>mleft(w^<2>+d^<2>
ight)>
I w = 1 12 m ( h 2 + d 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><12>>mleft(h^<2>+d^<2>
ight)>
I d = 1 12 m ( h 2 + w 2 ) <displaystyle I_=<frac <1><12>>mleft(h^<2>+w^<2>
ight)>
Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра s <displaystyle s> , I C M = m s 2 6 <displaystyle I_=<frac <2>><6>>> . Твёрдый кубоид с высотой D, шириной W, длиной L, массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали. I = m ( W 2 D 2 + L 2 D 2 + W 2 L 2 ) 6 ( L 2 + W 2 + D 2 ) <displaystyle I=<frac <2>D^<2>+L^<2>D^<2>+W^<2>L^<2>
ight)><6left(L^<2>+W^<2>+D^<2>
ight)>>> Для куба с длиной ребра s <displaystyle s> , I = m s 2 6 <displaystyle I=<frac <2>><6>>> . Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m I c = m ( h 2 + w 2 ) 12 <displaystyle I_=<frac <2>+w^<2>)><12>>> [1] — Стержень длины L и массы m I c e n t e r = m L 2 12 <displaystyle I_<mathrm
>=<frac <2>><12>>> [1]
Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = . Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m
(Ось вращения в конце пластины) I e = m h 2 3 + m w 2 12 <displaystyle I_=<frac <2>><3>>+<frac <2>><12>>> — Стержень длины L и массы m
(Ось вращения на конце стержня) I e n d = m L 2 3 <displaystyle I_<mathrm >=<frac <2>><3>>> [1] Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = . Тороидальная труба радиуса a, радиуса сечения b и массы m. Ось вращения относительно диаметра: 1 8 ( 4 a 2 + 5 b 2 ) m <displaystyle <frac <1><8>>left(4a^<2>+5b^<2>
ight)m> [4]
Ось вращения относительно вертикальной оси: ( a 2 + 3 4 b 2 ) m <displaystyle left(a^<2>+<frac <3><4>>b^<2>
ight)m> [4] — Плоскость многоугольника с вершинами P → 1 <displaystyle <vec
Читайте также:  Маршрутизатор d link dir 825 отзывы

>_<1>> , P → 2 <displaystyle <vec

>_<2>> , P → 3 <displaystyle <vec

>_<3>> , . P → N <displaystyle <vec

>_> и массой m <displaystyle m> , равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.

I = m 6 ∑ n = 1 N − 1 ‖ P → n + 1 × P → n ‖ ( P → n + 1 2 + P → n + 1 ⋅ P → n + P → n 2 ) ∑ n = 1 N − 1 ‖ P → n + 1 × P → n ‖ <displaystyle I=<frac <6>><frac <sum limits _^|<vec

>_ imes <vec

>_|(<vec

>_^<2>+<vec

>_cdot <vec

>_+<vec

>_^<2>)><sum limits _^|<vec

>_ imes <vec

>_|>>>

— Бесконечный диск с нормально распределенной вокруг осей вращения массой по двум координатам

(т.е. ρ ( x , y ) = m 2 π a b e − ( ( x / a ) 2 + ( y / b ) 2 ) / 2 <displaystyle
ho (x,y)=< frac <2pi ab>>,e^<-((x/a)^<2>+(y/b)^<2>)/2>>

где: ρ ( x , y ) <displaystyle
ho (x,y)> — плотность масс как функция x и y).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА

МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: Определение момента инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности:Установка лабораторная „Унифилярный подвес“. Электронный блок ФМ 1/1. Набор грузов. Штангенциркуль. Линейка.

Краткая теория

Моментом инерции твердого тела называется физическая величина, характеризующая распределение масс в теле относительно оси вращения и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Твёрдое тело можно представить как совокупность большого числа материальных точек. В таком случае момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен сумме моментов инерции всех образующих его материальных точек относительно этой оси и определяется по формуле

где r- расстояние от данной материальной точки массой до оси вращения, – плотность вещества твердого тела, – объём тела.

Момент инерции тела зависит от его массы, формы, размеров и положения оси вращения.

Найдём момент инерции однородного прямоугольного параллелепипеда относительно оси симметрии Z(рис. 1).

Совместим начало координат с центром масс параллелепипеда, а координатные оси направим параллельно его граням , , .

Для определения момента инерции параллелепипеда относительно оси разобьём его на параллельные слои толщиной , высотой и длиной . Каждый слой разобьём на элементарные объёмы в виде столбиков высотой и площадью основания (рис.1).

Читайте также:  Мощность замораживания морозильной камеры

Масса каждого элементарного объёма , где – плотность металла, из которого сделан параллелепипед.

Вклад каждого элементарного объёма в общий момент инерции параллелепипеда равен

,(1)

где – расстояние столбика до оси вращения ( ).

Момент инерции каждого слоя можно найти, проинтегрировав выражение (1) по в пределах от до :

. (2)

Для определения момента инерции всего параллелепипеда нужно выражение (2) проинтегрировать по в пределах от до :

.

Откуда следует окончательное выражение:

. (3)

Полученная формула позволяет вычислить значение момента инерции однородного параллелепипеда относительно оси симметрии .

Однако моменты инерции твёрдых тел относительно заданной оси вращения можно определить и экспериментально.

Для определения момента инерции тела экспериментальным путём в данной лабораторной работе служит установка «Унифилярный подвес» (рис. 2).

Установка состоит из основания 1, вертикальной стойки 2, верхнего 3, нижнего 4 и среднего 5 кронштейнов.

Верхний и нижний кронштейны предназначены для крепления узлов подвески и натяжения стальной проволоки 8, с ней связана металлическая рамка 9, в которой закрепляется исследуемое тело 6.

Если рамку отклонить от положения равновесия и отпустить, она будет совершать колебания. Колебания такого рода называют крутильными. Они происходят под действием упругих сил, возникающих в стальной проволоке 8.

Известно, что период крутильных колебаний относительно оси зависит от момента инерции колеблющейся системы относительно этой оси:

, (4)

где – постоянная момента упругих сил.

Если исследуемое твёрдое тело 6 жёстко закрепить в рамке 9, то для периода колебаний такой системы можно записать:

, (5)

где – момент инерции рамки, а – момент инерции исследуемого тела.

Период колебаний рамки без тела определяется соотношением

. (6)

Решая систему уравнений (5) и (6), получим для выражение

. (7)

Из формулы (7) следует, что если известен момент инерции рамки, то для нахождения момента инерции исследуемого тела достаточно экспериментально определить периоды колебаний унифилярного подвеса с телом и без него.

Момент инерции рамки также можно определить опытным путём. Для этого на ней нужно укрепить грузы 7 (рис 2). В качестве грузов используются два цилиндра. Период крутильных колебаний рамки с цилиндрами:

; (8)

где – момент инерции цилиндра.

Момент инерции цилиндра можно рассчитать с помощью теоремы Штейнера:

, (9)

где – масса цилиндра, – радиус цилиндра, – расстояние от оси цилиндра до оси вращения.

Из формул (6), (8) и (9) для момента инерции рамки следует выражение, в которое входят экспериментально измеряемые величины:

. (10)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась – это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8516 – | 8101 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Цель работы: определение моментов инерции некоторых тел при помощи крутильного маятника.

Приборы и принадлежности: миллисекундомер, крутильный маятник (рамка на проволочке), параллелепипед, цилиндр, стержень, 2 шара, линейка, штангенциркуль и технические весы.

Читайте также:  Метод внутри метода java

Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси:

.

Для сплошной среды с непрерывным распределением массы эта сумма сводится к интегралу

,

где интегрирование производится по всему объему тела; r – плотность материала; dV – элементарный объем; dm = rdV – элементарная масса; r = r(x, y, z) – функция положения точки с координатами х, у, z.

Момент инерции тела относительно произвольной оси z является мерой инертности тела по отношению к вращательному движению. Ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве (рис. 1) благодаря действию внешних сил .

Существуют оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными (или осями свободного вращения). У любого тела существуют три взаимно перпендикулярные свободные оси вращения (х1, х2, х3), проходящие через центр масс тела (т. С), называемые главными осями инерции (рис. 1).

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Гюйгенса-Штейнера: момент инерции тела J/ относительно произвольной оси равен моменту его инерции J относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

Для определения моментов инерции твердых тел в работе используется прибор «Крутильный маятник FРМ-05» (рис. 2). На основании 1 прикреплен миллисекундомер FРМ-14 2.

В основании закреплена колонка 3, на которой находятся кронштейны 4, 5, 6. Кронштейны 4 и 6 имеют зажимы для подвеса рамки 7. Конструкция рамки позволяет укреплять изучаемые тела 8, значительно отличающиеся по внешним размерам. Закрепление тела производится с помощью подвижной балки 9, которая перемещается по направляющим между неподвижными балками 10, путем затягивания гаек 11 на зажимных втулках, помещенных на подвижной балке.

Крутильные колебания маятника описываются уравнением

, (1)

где J – момент инерции; j – угол поворота; D – величина модуля кручения материала проволоки.

Циклическая частота w и период колебаний Т связаны

, (2)

. (3)

В работе использован относительный метод оценки момента инерции механической системы. С этой целью определяются периоды колебаний пустой рамки Т0 и колебаний рамки с изучаемым телом ТС. Момент инерции рамки с телом рассчитывается по формуле

, (4)

где J0 – момент инерции пустой рамки.

Момент инерции изучаемого тела

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Ознакомиться с установкой.

При измерении периода крутильных колебаний маятника выполнять последовательность операций:

1. Поворачивая рамку 7, приблизить ее стрелку 12 к электромагниту 13 так, чтобы электромагнитная сила фиксировала положение рамки.

2. Нажать кнопку «Пуск». После подсчета n (n ³ 10) крутильных колебаний нажать кнопку «Стоп».

3. Определить по миллисекундомеру время колебаний t и вычислить период крутильных колебаний по формуле

Данная последовательность операций выполняется при всех последующих измерениях колебаний механической системы.

В табл. 1 приводятся моменты инерции параллелепипеда, цилиндра и шара относительно главных осей.

Моменты инерции некоторых сплошных тел относительно осей,

проходящих через центр масс

Продолжение табл. 1

В табл. 2 приведены параметры изучаемых тел.

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector