Момент инерции плоской фигуры

Осевым, или экваториальным, моментом инерции площади фигуры называют интеграл произведений элементарных площадей на квадраты расстояний от рассматриваемой оси

(2.8)

Полярным моментом инерции площади фигуры относительно данной точки (полюса ) называют интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний от полюса:

(2.9)

Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей и , то . Из выражения (2.9) имеем

(2.10)

Отметим, что величины осевых и полярных моментов инерции всегда положительны.

Центробежным моментом инерции называют интеграл произведений площадей элементарных площадок на их расстояния от координатных осей и :

(2.11)

В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным или отрицательным. Очевидно, что, постепенно поворачивая оси, можно найти такое их положение, при котором центробежный момент инерции равен нулю. Такие оси называют главными осями инерции.

Две взаимно перпендикулярные оси, из которых хотя бы одна является осью симметрии фигуры, всегда будут ее главными осями инерции

Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называют главными центральными осями.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9969 – | 7768 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется произведение массы точки на квадрат ее расстояния до этой оси.

Моменты инерции материальной плоской фигуры D, распределение массы которой характеризуется плотностью 5=5 (х, у), вычисляются по формулам:

Ix=tty 2 b(x,y)dxdy

D

(момент инерции относительно оси Ох);

D

(момент инерции относительно оси Оу);

1о=$И х2 +У 2 )Ь(х,у) dx dy

D

(момент инерции относительно начала координат).

Величина / называется полярным моментом инерции и может быть выражена равенством

Если плоская фигура D является однородной и симметричной относи­тельно оси абсцисс (ординат), то момент инерции 1Х(1У) равен удвоенному моменту инерции относительно оси Ох (оси Оу) половины этой фигуры, расположенной по одну сторону от оси абсцисс (ординат).

71.Найти моменты инерции 1Х, 1У и / пластинки, ограниченной параболой у=х 2 и прямой у = х, если плотность в каждой точке пластинки численно равна ординате этой точки.

О Парабола и прямая пересекаются в точке М (1; 1); значит, область D определяется системой неравенств O^x^l, х 2 ^у^х. Используя формулы

(29.26), (29.27) и (29.29), получим

1 X

Ix=^y 2 ydxdy=^dx^y 3 dy=^y*Yxldx= X -^
D 0 jc* о О
(ед 4 ). •

72.Найти момент инерции однородного квадрата со стороной, равной 3, относительно одной из его вершин.

О Совместим одну из вершин квадрата с началом координат, а координатные оси Ох и Оу направим по двум его сторонам, исходящим из этой вершины. Область D определяется системой неравенств 0^x0, О^у^З.

Искомый момент инерции найдем по формуле (29.28) при 6=1:

= 54 (ед. 4 ) ф

73.Вычислите моменты инерции /х, 1У и / однородной пластинки (8=1), ограниченной заданными линиями: 1) х—2, у=3, х=0, у=0; 2) у = х9 х=4, у=0; 3) у=х 2 , у= 1, х=0; 4) у = cosx, О^х^п/2.

74.Вычислите моменты инерции 1Х9 1У и / пластинки, ограничен­ной параболой у=х 2 /4, осью Ох и прямой х=2, если плотность в каждой точке пластинки численно равна ординате этой точки.

75.Вычислите моменты инерции 1Х, 1у и / квадратной пластин­ки, ограниченной осями координат и прямыми л;=1 и у= 1, если плотность в каждой точке пластинки численно равна квадрату расстояния от начала координат до этой точки.

Читайте также:  Миксер комбайн с чашей

76.Вычислите моменты инерции /*, 1у и / пластинки, ограничен­ной параболой у=х 2 /2, осью Оу и прямой х=2, если плотность в каждой точке пластинки численно равна абсциссе этой точки.

ЗАЧЕТНАЯ РАБОТА

I вариант

1) Найдите массу прямоугольной пластинки со сторонами 4 и 5, в каждой точке которой поверхност­ная плотность пропорциональна квадрату расстояния от одной из вершин прямоугольника до этой точки. Коэффициент пропорциональ­ности равен к.

2) Найдите статические моменты относительно осей Ох и Оу однород­ной пластинки (8=1), имеющей фор­му треугольника с вершинами О (0; 0); А (4; 4) и В (0; 6).

3) Найдите координаты центра тяжести пластинки, ограниченной параболой у=х 2 и прямой у= 1, если плотность в каждой точке пластин­ки численно равна ординате этой точки.

4) Найдите моменты инерции 1Х, 1У и / однородной пластинки (8=1), ограниченной осями координат и прямыми х=6, у—4.

II вариант

1) Найдите массу прямоугольной пластинки со сторонами 3 и 4, в каждой точке которой поверхност­ная плотность пропорциональна сумме абсциссы и ординаты любой точки прямоугольника. Коэффициент пропорциональности равен к.

2) Найдите статические моменты относительно координатных осей пластинки, ограниченной параболой у 2 =х (у^0), прямой х=9, если плотность распределения массы в каждой точке равна ординате этой точки.

3) Найдите координаты центра тяжести пластинки, ограниченной параболой у=х 2 /2 и прямой у = 2, если плотность распределения массы в каждой точке пластинки численно равна ординате этой точки.

4) Найдите моменты инерции 1Х,

1У и / однородной пластинки (5=1), ограниченной осями координат и прямой у —2 — 0,5л:.

3. 1) 0,2; 2) 0,4; 3) 0,3; 4) 0,42.4. 385,5 2 ).13. 1) 2; 2) 4,6 и 3; 3) 7; 4) 1, 2, 7 и 8; 5) 3.14. Все три цифры верные.15. Все цифры верны в строгом смысле.16. 1) 28 • 10 1 ± 10; 2) 89 • 10 2 ± ±100; 3) 53• 10 4 ± 100; 4) 57,4 10 2 ±10.17. 1) 0,3+0,08; 2) 2,06±0,007; 3) 14± ±1; 4) 24,7± 0,1.18. 1) 1,24-10 4 ±50; 2) 1,58 • 10 4 ± 100; 3) 8,7-10 [39] ±50; 4) 8,1 х х 10 2 ±10.19. 1) До=0,01; 2) До=0,1; 3) До=0,01; 4) До=0,001.20. 1) 0,01 10 2 ;

2) 0,0001 10 2 ; 3) 0,001 -ИГ 4 ; 4) 0,01 Ю" 3 .25. 0,05%.26. 1) 2,1%; 1,4%;

2) 1,8%; 0,44%; 3) 1,3%; 0,14%.27. 0,3%.28. 2%.29. 1, 2 и 8.

Глава 2

2. 24,5. 3. а=5,55; До=0,001; £„=0,00018. 4. о=6,61; До=0,0015; £„= =0,00023. 5. R= 18,8 Ом; ДА=0,06; eR=0,3%. 7. 6,07. 8. а =1,37; До=0,001; 8„=0,1%. 11. 1,5; 0,3%. 12. 39±0,2 (см). 13. 300; одна значащая цифра.

16. 0,3%. 17. 0,94; верные цифры 9 и 4. 18. 2,51 ±0,005. 22. 0,4%. 23. 0,06%.

26. ДА=ДЯ=0,004 см. 27. До 0,01 м. 34. 1) 5=27°,4, о=23,8, *=12,2; 2) А = =41°,1, а=42,3, 6=48,4; 3) 5=61°,5, о=298, 6=549; 4) А=47°,3, а=0,430, 6= =0,397. 35. 1) 5= 37°,7, 6=275, с=450; 2) А = 53°,6, 6=6,32, с= 10,6;

3) А = 17°,4; о=0,297, с=0,993; 4) 5=33°,2; 6=31,4, с=57,3. 36. 1) Л=4Г,3, 5=48°,7, 6=28,3; 2) Л=41°,8, 5=48°,2, о=20,4; 3) Л=53°,3, 5= 36°,7, о=150;

4) А =46°,9, 5=43°,1, 6 =0,428. 37. 1) Л = 51°,6, 5=38°,4, с =1,05; 2) А=1Т,В= 13°, с=431; 3) Л = 31°,6, 5=58°,4, с=2,79; 4) А=37,°2, 5=52°,8, с=41.

Читайте также:  М видео доставка в другой город

38.1) А=95°,6, а=83,4; 2)В= 77°,7, а=30,7; 3) А=23°,6, 6= 308; 4) 5=21°,8, 6=3,04; 5) Л = 103°,6, а=1080, 6= 686; 6) 5=57°,7, а=53,8, 6=50,4;

7) А = 50°,8, 5=64°,6; 8) Л = 130°,6, 5=24°,7, о=210; 9) Л=21°,8, 5=79°,1, 6=8,41; 10) А = 20°,8, 5=79°,6, а=12,8; 11) 5=61°,9, а=59,9, 6=63,5; 12) Л = 80°,8, 5=49°,6, 6=33,1. 44. 1) с=71,4, Л = 67°,4, 5=47°,8; 2) о=669, 5=47°,2, с=84°,5; 3) 6=6,96, Л =46°,6, с=69°,7; 4) с=689, Л = 30°, 5=37°,8. 45. 1) 5= 39°,3, а=981, с=959; 2) Л = 22°,2, а=23,9, 6=57,2; 3) 5=76°,6, 6=7,99, с=7,4; 4) С=76°,3, а=111, 6= 236. 46. 1) А = 59°,7, 5=55°,7, С=64°,6;

2) Л = 126°,3, 5=20°,5, С= 33°,2; 3) /1=130°,5, 5=32°,6, С=16°,9; 4) Л=44°,4, 5=53°,2, С=82°,4. 47. 1) 5= 59°,7, С=52°,1, с=218; 2) I случай: 5=83°,4; С=33°,9, с=22,9; II случай: 5=96°,6, С=20°,7, с=14,5; 3) 5=33°,5, С=104°, с= 12,6°; 4) I случай: Л = 82°,2, С=49°,6, о=829; II случай: А = 1°,5, С=130°,3, 0=21,2. 48. 3,7%. 49. 0,035. 50. 1,2%. 51. 1%. 52. 364 000 см 3 ; верными являются цифры 3 и 6. 53. 7,9 ±0,03 (см); верными являются цифры 7 и 9. 54. До 0,2 см.Зачетная работа. I вариант.

а=4,38; £„=0,02%; 2) 3600; верные цифры 3 и 6; 3) 63,4±0,1; 4) 0,1%; 5) до 0,02 м. II вариант. 1) о=0,67; £„=0,15%; 2) 3800; верные цифры 3 и 8;

3) 2,85± 0,004; 4) 0,02%; 5) до 0,05.

4. 1), 2) Да; 3) нет. 5. 1) 0; 2) 2/3; 3) 1/4; 4) нет решения. 6. 1) 10/19;

1) —3; 3) 3; 4) —21. 7. 1) 2; 2) 2; 3) 2,5; 4) —1; 5) нет решения; 6) х—любое действительное число, кроме х= ±4. 8. 35 л. 9. Меди 86,1 кг, цинка 36,9 кг.

10. 240 кг. 11. 637,5 и 212,5. 12. 85. 13. 6 см. 15. 1) – 2 —13х+40 = 0; 2) х 2 + Зх-10=0; 3) х 2 + 9х+20=0;

4) 15х 2 —22×4-8=0; 5) 32х 2 -4х-3 = 0; 6) 30х 2 + 37х+10 = 0; 7) 4х 2 -17х+ +4=0; 8) Зх 2 —8х—3=0. 63. 1) Корни имеют разные знаки; больший по модулю корень отрицателен; 2) знаки корней различны; больший по модулю корень положителен; 3), 4), 6) оба корня положительны; 5) оба корня отрицательны. 64. 1) (2х—1)(х—3); 2) (2а43) (За—2); 3) (3^44) (у—5);

4) (Зх+1)(4л:+1); 5) (/и+1)(т-3); 6) (8х-3) (9х-5). 65. 1) 2) У+Ъ ■

х+З’ ’ 2у+5′

2) Xi = —2; *2 = 1; *з = 3; x4 = 4; 3) Xt = — 4; x2= — 2; x3 = 1; x4 = 3; 4) хг = = — 1/2; x2=l; x3 = 3; 5) Xx = —3; x2= — 1; x3 —0; x4=4; 6) Xi = —2; x2 = l; x3 = 3. 74. 1) x 3 + 2x 2 — 5x—6=0; 2) 6x 3 —x 2 —4x—1 =0. 75. 1) Xi=— 3; x2 = 3;

2) x= —0,4; 3) Xi = —2,5; x2 = 2,5; 4) x=0,6. 76. 23 и 24. 77. 3/5. 78. 24.

Последнее изменение этой страницы: 2016-12-15; Нарушение авторского права страницы

Сопротивление материалов

Геометрические характеристики плоских сечений

При некоторых видах деформаций прочность и жесткость (способность противостоять деформации) элементов конструкций зависит не только от величины поперечного сечения, но и от формы этого сечения.
Самый простой пример – обыкновенную школьную линейку можно легко изогнуть относительно широкой стороны поперечного сечения и совершенно невозможно изогнуть относительно его короткой стороны. При этом общая площадь сечения в обоих случаях одинакова. На основании этого примера становится очевидным, что на сопротивление некоторым видам деформации оказывает влияние (иногда – решающее) не только величина площади сечения бруса, но и его геометрическая форма.
При изучении деформаций изгиба и кручения нам потребуется знание некоторых геометрических характеристик плоских сечений, которые оказывают влияние на способность конструкций сопротивляться деформациям относительно той или иной оси либо полюса (точки).

Читайте также:  Мат ожидание равномерного распределения

Чтобы понять суть явления и влияния этих геометрических характеристик на сопротивление бруса, например, изгибу, следует обратиться к основополагающим постулатам сопромата. Как известно из установленного в 1660 году английским физиком Робертом Гуком закона, напряжение в сечениях бруса прямо пропорционально его относительному удлинению. Очевидно, что волокна, расположенные дальше от оси изгиба, растягиваются (или сжимаются) сильнее, чем расположенные вблизи оси. Следовательно, и напряжения возникающие в них будут бόльшими.
Можно привести условную сравнительную аналогию между напряжением в разных точках сечения бруса с моментом силы – чем больше плечо силы – тем больше ее момент (относительно оси или точки). Аналогично – чем дальше от какого-либо полюса (оси) отстоит точка в сечении, тем большее напряжение в ней возникает при попытке изогнуть или скрутить брус относительно этого полюса (оси).

Статический момент площади

Статическим моментом площади плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений элементарных площадок (Si) на расстояния (ri)от них до этой оси.

Если упростить это определение, то статический момент инерции плоской фигуры относительно какой-либо оси (лежащей в той же плоскости, что и фигура) можно получить следующим образом:

  • разбить фигуру на крохотные (элементарные) площадки (рис. 1);
  • умножить площадь каждой площадки на расстояние ri от ее центра до рассматриваемой оси;
  • сложить полученные результаты.

Статический момент площади плоской фигуры обозначают S с индексом оси, относительно которой он рассматривается: Sx , Sy , Sz .

Примечание: в разных учебниках или других источниках информации обозначение тех или иных физических величин может отличаться от приведенных на этом сайте. Как вы понимаете, от условного обозначения величин суть описываемых явлений и закономерностей не изменяется.

Анализ этих формул позволяет сделать вывод, что статический момент площади фигуры относительно оси, лежащей в этой же плоскости, равен произведению площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.
Из этого вывода следует еще один вывод – если рассматриваемая ось проходит через центр тяжести плоской фигуры, то статический момент этой фигуры относительно данной оси равен нулю.

Единица измерения статического момента площади – метр кубический (м 3 ).
При определении статического момента площади сложной фигуры можно применять метод разбиения, т. е. определять статический момент всей фигуры, как алгебраическую сумму статических моментов отдельных ее частей. При этом сложная геометрическая фигура разбивается на простые по форме составные части – прямоугольники, треугольники, окружности, дуги и т. п., затем для каждой из этих простых фигур подсчитывается статический момент площади, и определяется алгебраическая сумма этих моментов.

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса (точки), лежащего в той же плоскости, называется сумма произведений элементарных площадок (Si) этой фигуры на квадрат их расстояний (r 2 i) до полюса.
Полярный момент инерции обозначают Iρ (иногда его обозначают Jρ ), а формула для его определения записывается так:

Единица измерений полярного момента инерции – м 4 , из чего следует, что он не может быть отрицательным.
Понятие полярного момента инерции понадобится при изучении деформаций кручения круглых валов, поэтому приведем формулы для определения полярного момента квадратного, круглого и кольцевого сечения.

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector