Момент инерции прямоугольного треугольника формула

Ширина b = Высота h = Рассчитать

Площадь прямоугольника $$A = frac <2>= frac< 20 cdot 36 > <2>= 360$$

Центробежный момент инерции $$J_ = frac <72>= frac< 20^2 cdot 36^2 > <72>= 7200$$

1. Прямоугольник (рис. 1.5,а). Вычислим момент инерции сечения относительно оси Х0, проходящей через центр тяжести параллельно основанию.

За dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy. Тогда

(1.11)

(1.12)

2. Круг (рис. 1.5,б). Сначала определим полярный момент инерции относительно центра круга

За dA принимаем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dp

(1.13)

Теперь легко найдем Ixo. Действительно, для круга имеем Iр = 2Iхо = 2Iуо, откуда

(1.14)

3. Треугольник (рис. 1.5,г). Определим момент инерции относительно оси x1, параллельной основанию и проходящей через вершину треугольника

За dA примем площадь бесконечно тонкой трапеции KBDE, площадь которой можно считать равной площади прямоугольника:

где by – длина прямоугольника.

Легко получить из подобия треугольников

тогда (1.15)

Определим момент инерции относительно центральной оси

(1.16)

Определим момент инерции относительно оси, проходящей через основание:
(1.17)

Дата добавления: 2018-02-15 ; просмотров: 1367 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Для простых сечений статические моменты и моменты инерции находятся по формулам (2.1)—(2.4) с помощью интегрирования. Рассмотрим, например, вычисление осевого момента инерции Jx для произвольного сечения, изображенного на рис. 2.9. Учитывая, что в прямоугольной системе координат элемент площади dF=dxdy, получим

гдех^(у) и хв(у) — координаты точек контура при некотором фиксированном значении у.

Выполняя интегрирование по х, найдем

Величина Ь(у) представляет собой ширину сечения на уровне у (см. рис. 2.9), а произведение b(y)dy = dF — площадь заштрихованной элементарной полосы, параллельной оси Ох. С учетом этого формула для / преобразуется к виду

Аналогичное выражение можно получить для момента инерции Jy.

Читайте также:  Лучшие цифровые радиоприемники рейтинг

Прямоугольник. Найдем моменты инерции относительно главных центральных осей, которые в соответствии со свойством 2 (§ 2.5) совпадают с осями симметрии прямоугольника (рис. 2.10). Так как ширина сечения постоянна, то по формуле (2.14) получим

Момент инерции относительно оси Оххх определим по первой из формул (2.6):

Моменты инерции / и J находятся аналогично. Запишем формулы для осевых моментов инерции прямоугольника:

Произвольный треугольник. Вначале найдем момент инерции относительно оси <xv проходящей через основание треугольника (рис. 2.11). Ширина сечения Ь(у<) на уровне у< находится из подобия треугольников:

Подставляя эту величину в формулу (2.14) и производя интегрирование, получим

Моменты относительно осей Ох и 2х2, параллельных основанию и проходящих соответственно через центр тяжести и через вершину треугольника, находим с помощью формул (2.6):

В этих формулах b<=h/3 и b2 = —2h /3 — соответственно ординаты центра тяжести треугольника О в системе координат Охх1у1 и 2х2ут

U_ У-_ XI – UZ__у

Рис. 2.11 Рис. 2.12

Запишем формулы для осевых моментов инерции треугольника относительно осей, параллельных основанию:

Прямоугольный и равнобедренный треугольники. Для прямоугольного треугольника (рис. 2.12) определим центробежный момент инерции J относительно центральных осей Ох и Оу, параллельных катетам. Это можно сделать, воспользовавшись формулой (2.3). Однако решение задачи можно упростить, если применить следующий прием. С помощью медианы <3 разделим заданный треугольник на два равнобедренных треугольника <3А и Ofi3B. Оси 03х3 и 3у3 являются осями симметрии для этих треугольников и на основании свойства 2 (§ 2.5) будут главными осями каждого из них по отдельности, а следовательно, и всего треугольника ОхАВ. Поэтому центробежный момент инерции J =0. Центробеж-

Читайте также:  Микрофон тихо записывает голос

ный момент треугольника относительно осей Ох и Оу найдем с помощью последней из формул (2.6):

Запишем формулы для моментов инерции прямоугольного треугольника:

Момент инерции равнобедренного треугольника относительно оси симметрии Оу (рис. 2.13) определим, используя четвертую из формул (2.17), как удвоенный момент инерции прямоугольного треугольника с основанием h и высотой Ь/2:

Таким образом, моменты инерции равнобедренного треугольника относительно главных центральных осей Ох и Оу определяются по формулам

Круг. Вначале удобно вычислить полярный момент инерции круга по формуле (2.4), воспользовавшись полярной системой координат (рис. 2.14).

Учитывая, что dF-rdrdQ, найдем

Поскольку полярный момент согласно (2.4) равен сумме двух осевых моментов, получим

Кольцо. Моменты инерции кольца (рис. 2.15) находятся как разность моментов инерции двух кругов с радиусами Я2 и R<:

Полукруг (рис. 2.16). Выделим в плоскости полукруга элемент площади dFс полярными координатами г, 0 и декартовыми координатами xvyv для которых в соответствии с рис. 2.16 имеем:

По формулам (2.1) и (2.5) найдем соответственно статический момент полукруга относительно оси <х< и ординату у центра тяжести О в системе координат <х<Уу

Относительно осей 0,х, и <yv которые являются главными осями для полукруга, осевые моменты инерции равны половине моментов инерции круга:

Момент инерции относительно главной центральной оси определяется с помощью первой формулы (2.6):

Эллипс. Для вычисления осевого момента инерции эллипса с полуосями а и b относительно оси Ох (рис. 2.17) поступим следующим образом. Вокруг эллипса опишем окружность и выделим две элементарные полосы шириной dx и высотой к для круга и 2уэ для эллипса. Моменты инерции этих двух полос можно определить по первой из формул (2.15) для прямоугольника:

Читайте также:  Мигает свет ваз 2106 в чем причина

Интегрируя эти выражения в пределах от —а до а, получим

Из уравнений окружности и эллипса имеем

Аналогичное выражение можно получить для момента инерции относительно оси Оу. В результате для эллипса будем иметь следующие формулы для осевых моментов:

Прокатные стержни. Геометрические характеристики сечений прокатных стержней (двутавры, швеллеры, уголки) приведены в таблицах сортамента прокатной стали (см. приложение).

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector