Момент инерции сплошного шара

ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

5.5. Момент инерции сплошного шара

Сплошной однородный шар можно представить как сумму бесконечно тонких сферических слоев с массами dm (рис. 5.3).

Тогда можно записать, что

.

Объем сферического слоя dV представим в виде: dV = 4 p r 2 dr , где r – радиус сферического слоя.

где R – радиус шара.

Если шар полый, то момент инерции сферического слоя относительно его центра масс (точка С)

Момент инерции сферического слоя относительно диаметра

.

Тогда момент инерции шара.

Моменты инерции некоторых тел однородного состава относительно оси

цилиндр радиуса R

2. Тонкое кольцо

3. Полый цилиндр с внутренним r и внешним R радиусами

Момент инерции однородного тела вращения. Моменты инерции конуса, шара.

Линия – ось вращения.

– масса на квадрат радиуса окружности, по которой движется материальная точка.

Все тело мысленно разбиваем на маленькие объемы. Масса этого кусочка .

Твердое тело представляется как совокупность системы точечных масс.

– расстояние, на котором находится точка от оси вращения.

– общий алгоритм определения собственного момента инерции твердого тела, относительно оси проходящей через центр инерции данного тела.

Сплошной шар массы m и радиуса R можно рассматривать как совокупность бесконечно тонких сферических слоев с массами dm , радиусом r, толщиной dr (рис.35).

Рассмотрим малый элемент сферического слоя $delta$ m с координатами x, y, z. Его моменты инерции относительно осей проходящих через центр слоя – $delta$ Jx, $delta$ Jy, $delta$ Jz, равны

Т. е. можно записать (п.26)

Так как для элементов сферического слоя x 2 +y 2 +z 2 =r 2 то

После интегрирования по всему объему слоя получим (п.27)

Так как, в силу симметрии для сферического слоя dJx=dJy=dJz=dJ , а , то Интегрируя по всему объему шара, получаем
Окончательно (после интегрирования) получим, что момент инерции шара относительно оси, проходящей через его центр равен

Читайте также:  Лучшие шаблоны wordpress для блога

Разобьём КОНУС на цилиндрические слои ось толщиной dr. Масса такого слоя dm = rpr 2 dr,

где ρ – плотность материала, из которого изготовлен конус. Момент инерции этого слоя dI = dm . r 2 .

Момент инерции всего конуса складывается из моментов инерции всех слоёв:

I = = ρπ r 4 dr = ρR 5 .

Остаётся выразить его через массу всего цилиндра: m = = = R 3 ,

отсюда ρ = , I = = mR 2 .

18. Кинетическая энергия вращающегося твёрдого тела вокруг закреплённой оси. Кинетическая энергия твёрдого тела при плоском движении.

Кинети́ческая эне́ргия — энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Единица измерения в системе СИ — Джоуль. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.

Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

19. Уравнения динамики твёрдого тела. Центр тяжести. Условия равновесия твёрдого тела.

– уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси z, где Mz – момент силы, Lz – момент импульса, Jz – момент инерции тела относительно оси z, – угловое ускорение. F=ma

Центром тяжести тела называется точка, относительно которой суммарный момент сил тяжести, действующих на систему, равен нулю. Например, в системе, состоящей из 2 одинаковых масс, соединённых несгибаемым стержнем и помещённой в неоднородное гравитационное поле (например, планеты), центр масс будет находиться в середине стержня, в то время как центр тяжести будет смещён к тому концу стержня, который находится ближе к планете (ибо вес массы P = m·g зависит от гравитационного поля g), и, вообще говоря, даже расположен вне стержня. В постоянном параллельном (однородном) гравитационном поле центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Поэтому на практике эти два центра почти совпадают (так как гравитационное поле в некосмических задачах может считаться постоянным в объёме тела).

Читайте также:  Модем билайн не подключается к компьютеру

По этой же причине понятия центр масс и центр тяжести совпадают при использовании этих терминов в геометрии, статистике и тому подобных областях, где применение его по сравнению с физикой можно назвать метафорическим и где неявно предполагается ситуация их эквивалентности (так как реального гравитационного поля нет и не имеет смысла учёт его неоднородности). В этих применениях традиционно оба термина синонимичны, и нередко второй предпочитается просто в силу того, что он более старый

Механическое равновесие – состояние системы, при котором сумма всех сил, действующих на каждую её частицу, равна нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно оси вращения, проходящей через любую точку O, равна нулю ΣΜO(Fί)=0. Такое определение ограничивает как поступательное движение тела, так и вращательное.

Виды равновесия:

Приведём пример для системы с одной степенью свободы. В этом случае достаточным условием положения равновесия будет являться наличие локального экстремума в исследуемой точке. Как известно, условием локального экстремума дифференцируемой функции является равенство нулю её первой производной. Чтобы определить, когда эта точка является минимумом или максимумом, необходимо проанализировать её вторую производную. Устойчивость положения равновесия характеризуется следующими вариантами:

Дата добавления: 2015-04-24 ; Просмотров: 4142 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Название работы: Момент инерции шара. Теорема Штейнера

Предметная область: Физика

Описание: Момент инерции шара. Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками. Сначала найдем момент инерции относительно центра шара. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра: .

Дата добавления: 2013-09-05

Размер файла: 39.5 KB

Работу скачали: 54 чел.

17.Момент инерции шара. Теорема Штейнера.

Читайте также:  Лучшие стратегии песочницы на пк

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Сначала найдем момент инерции относительно центра шара. Он равен: . В этом случае . В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра: .

Момент инерции сплошного однородного шара.

Сплошной шар можно рассматривать как совокупность бесконечо тонких сферических слоев с массами dm , так как шар по предположению однороден, то , где (36), объем сферического слоя, а (37) – объем шара. Момент инерции сферического слоя относительно диаметра равен: . Интегрируя, получим момент инерции сплошного шара: .

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

Если — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии от неё, равен

,

где — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector