Момент инерции тонкой пластины
Момент инерции выделенного элемента (в виде стержня массой dm, длиной a и толщиной dx как показано на рисунке) по теореме Штейнера:
Из геометрических соображений , откуда
, тогда
Тогда момент инерции пластины:
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома – страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8912 – | 7222 –
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину 2 . Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с моментом инерции плоских сечений [ уточнить ] , который используется при расчетах изгибов.
Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.
Описание | Изображение | Моменты инерции | Комментарии |
---|---|---|---|
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m | ![]() |
I = m r 2 <displaystyle I=mr^<2>> |
Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r1=r2. |
Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.

ight)>
I x = I y = 1 12 m [ 3 ( r 2 2 + r 1 2 ) + h 2 ] <displaystyle I_
ight)+h^<2>
ight]>
или при определении нормированной толщины tn = t/r и полагая r = r2,
тогда I z = m r 2 ( 1 − t n + 1 2 t n 2 ) <displaystyle I_1>
ight)>
ho hleft(<2>>^<4>-<1>>^<4>
ight)>

I x = I y = 1 12 m ( 3 r 2 + h 2 ) <displaystyle I_
ight)>

I x = I y = m r 2 4 <displaystyle I_

I x = I y = m r 2 2 <displaystyle I_




I x = I y = 3 5 m ( r 2 4 + h 2 ) <displaystyle I_
ight)>

ight)>
I w = 1 12 m ( h 2 + d 2 ) <displaystyle I_
ight)>
I d = 1 12 m ( h 2 + w 2 ) <displaystyle I_
ight)>

ight)><6left(L^<2>+W^<2>+D^<2>
ight)>>>


(Ось вращения в конце пластины)

(Ось вращения на конце стержня)


ight)m>
Ось вращения относительно вертикальной оси: ( a 2 + 3 4 b 2 ) m <displaystyle left(a^<2>+<frac <3><4>>b^<2>
ight)m>
>_<1>> , P → 2 <displaystyle <vec
>_<2>> , P → 3 <displaystyle <vec
>_<3>> , . P → N <displaystyle <vec
>_и массой m <displaystyle m>
, равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.

>_ imes <vec
>_
>_^<2>+<vec
>_cdot <vec
>_
>_
>_ imes <vec
>_
(т.е. ρ ( x , y ) = m 2 π a b e − ( ( x / a ) 2 + ( y / b ) 2 ) / 2 <displaystyle
ho (x,y)=< frac
где: ρ ( x , y ) <displaystyle
ho (x,y)> — плотность масс как функция x и y).
2018-11-09
Однородная тонкая квадратная пластина массой $M$ со стороной $a$ свободно подвешена за одну из вершин и колеблется в собственной плоскости в поле силы тяжести. В каком месте диагонали, проходящей через точку подвеса пластины (кроме, конечно, самой точки подвеса), к пластине можно приклеить точечную массу $m$ так, чтобы движение пластины не изменилось? Момент инерции квадратной пластины массой $M$ со стороной $a$ относительно оси, перпендикулярной к пластине и проходящей через ее центр О, равен $I_ <0>= 1/6 Ma^<2>$.
Прежде всего следует определить момент инерции пластины относительно фактической оси вращения. Это можно сделать, воспользовавшись теоремой Штейнера, а также следующим образом. Представим себе пластину (рис.) массой $4M$ со стороной $2a$.
Согласно условию, момент инерции $I^< prime>$ этой пластины относительно точки О равняется
С другой стороны, момент инерции системы тел относительно заданной оси равен сумме моментов инерции этих тел относительно той же оси (аддитивность момента инерции). Следовательно,
где $I$ – момент инерции пластины, имеющей массу $M$ и сторону $a$, относительно оси, перпендикулярной к плоскости пластины и проходящей через вершину квадрата. Используя сказанное выше, определим $I$:
Запишем теперь уравнение движения нашего физического маятника. Угол отклонения диагонали, проходящей через ось вращения, от вертикали обозначим через $alpha$ (рис). Угловое ускорение пластины – через $epsilon$. Согласно второму закону механики, для вращательного движения справедливо соотношение
Подставив в это соотношение значение $I$ и учитывая, что $epsilon =d^ <2>alpha /dt^<2>$, получим уравнение, описывающее движение нашего маятника (т. е. зависимость $alpha$ от $t$):
Рассмотрим теперь математический маятник длиной $l$. Если не ограничиваться малыми колебаниями, то для математического маятника получим следующее уравнение движения:
Уравнения (1) и (2) будут идентичными, если положить $l = (2 sqrt<2>/3)a$. Идентичность уравнений означает, что при одинаковых начальных условиях (т. е. при одинаковых начальных отклонениях и скоростях) движение обоих маятников будет одинаковым.
Представим теперь пластину (физический маятник) и математический маятник длиной $l = (2 sqrt<2>/3)$ колеблющиеся вместе в одной плоскости относительно одной и той же оси. Если пластину и математический маятник отклонить от положения равновесия на один и тот же угол и отпустить, то зависимость $alpha(t)$ для обоих маятников будет одинаковой. Конкретный вид функции $alpha(t)$ не имеет для нас значения. Важно то, что конец математического маятника все время будет находиться возле одной и той же точки пластины. Если так, то можем его «приклеить» к пластине и движение при этом не изменится. Следовательно, прикрепление точечной массы т на диагонали на расстоянии, равном 2/3 длины диагонали от оси вращения, не влияет на движение пластины; очевидно, что добавленная масса имеет нулевую скорость относительно пластины.
Особенностью приведенного решения является то, что оно в равной мере справедливо как для малых, так и для больших амплитуд колебаний.