Момент инерции трапеции формула

Моменты инерции материальной кривой

Моментом инерции материальной точки относительно оси называется число , где — масса точки, а — ее расстояние от оси. Аналогично определяется момент инерции относительно точки.

Пусть — материальная линия, линейная плотность которой во всех точках равна единице. Тогда масса элементарного участка этой линии равна его длине , а момент инерции такого участка относительно оси абсцисс равен . Интегрируя, получаем момент инерции относительно оси абсцисс всей линии:

где — момент инерции относительно начала координат. Отсюда следует, в частности, что .

Если линия задана параметрическими уравнениями , то

Аналогичные формулы справедливы для и

Моменты инерции криволинейной трапеции

Перейдем к вычислению моментов инерции криволинейной трапеции. Будем считать, что ее поверхностная плотность равна единице. Сначала найдем момент инерции прямоугольника со сторонами и относительно стороны . Разобьем его на элементарные прямоугольники со сторонами и (см. рис. 61). Площадь (а потому и масса) каждого такого прямоугольника равна . Значит, момент инерции элементарного прямоугольника относительно стороны равен , а момент инерции всего прямоугольника относительно этой стороны выражается формулой

Криволинейную трапецию разобьем на элементарные прямоугольники со сторонами и . Момент инерции каждого из этих прямоугольников относительно оси абсцисс выражается формулой . Интегрируя, получаем момент инерции всей криволинейной трапеции относительно оси абсцисс:

Аналогично доказывается, что момент инерции криволинейной трапеции относительно оси ординат выражается формулой

(момент инерции элементарного прямоугольника относительно оси ординат равен ).

Полярный момент инерции (т. е. момент относительно начала координат) в этом случае выражается формулой

Пример 9. Вычислить момент инерции равнобедренного треугольника относительно его основания.

Решение. Расположим оси координат так, как показано на рисунке 65.

Пусть основание треугольника , высота . Прямая проходит через точки и . Ее уравнение , то есть .

Читайте также:  Мтс тарифы интернета для планшета

Ясно, что момент инерции треугольника относительно оси равен удвоенному моменту инерции треугольника относительно той же оси. Значит,

Поперечные сечения тонкостенных стержней состоят из прямоугольников. При вычислении моментов инерции таких сечений интегралы по площади А заменяют интегралами по длине средней линии контура сечения s. Если тонкостенные элементы, составляющие сечение, имеют постоянную толщину, то формулы моментов инерции принимают следующий вид:

Здесь dA = 8 • ds, 5, = const — толщина тонкостенных элементов.

При такой замене не учитывается собственный момент инерции тонкостенного элемента относительно средней линии контура, значение которого обычно мало по сравнению с моментом инерции всего сечения. Это является особенностью вычисления моментов инерции тонкостенных сечений по формулам (2.37), при этом значения моментов инерции определяются приближённо.

Подинтегральное выражение каждого из интегралов (2.37) представляет собой произведение двух функций координат: х = f(s) и у -fi(s) и является частным случаем интеграла

В интегралах (2.37) обе функции х и у будут линейными. Функции f(s) и f2(s) на некотором участке длиной I в общем случае графически можно представить в виде трапеций (рис. 2.22).

Для вычисления интегралов (2.38) используем «формулу трапеций», являющуюся частным случаем формулы Симпсона (см. далее и. 15.8):

При вычислениях по формуле (2.39) ординаты функций следует подставлять с учётом их знаков. Рассмотрим пример.

Пример 2.1. Для тонкостенного Z-образного сечения определить моменты инерции 1Х, 1У и Dxy, размеры сечения даны в сантиметрах (рис. 2.23, а).

Сначала вычислим моменты инерции сечения по формулам параллельного переноса (2.18). Разделив сечение на три прямоугольника (см. рис. 2.23, а), получим точные значения моментов инерции:

Вычислим приближённые значения моментов инерции, пользуясь формулой (2.37). Для этого построим эпюры координат х и у (рис. 2.23, б, в) и перемножим их, используя формулу трапеций (2.39):

Читайте также:  Монитор показывает зеленым оттенком

Погрешности вычислений составят для 1Х — 0,86%, для 1У — 0,13%, а для Dxy — 0,28%. Из сравнения полученных результатов видно, что использование формул (2.37) даёт небольшую погрешность и свидетельствует о возможности их применения [1]. Уменьшение толщины стенки сечения приведёт к уменьшению различия полученных результатов.


6.2. МОМЕНТ ИНЕРЦИИ СЕЧЕНИЯ

Момент инерции – распространенная на всю площадь сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты расстояний от них до этой оси. Осевые моменты инерции где ρ – расстояние от площадки dA до точки (полюса), относительно которого вычисляется полярный момент инерции. Полярный момент инерции связан с осевыми моментами инерции то есть для любой пары взаимно перпендикулярных осей, проходящих через полюс Центробежный момент инерции определяется интегралом произведений элементарных площадей на их расстояния до двух взаимно перпендикулярных осей Размерность моментов инерции – единицы длины в четвертой степени. Осевые и полярный момент инерции всегда положительны, центробежный момент инерции может принимать значения «+», «–» и ноль. Если фигура имеет ось симметрии, то относительно этой оси центробежный момент инерции равен нулю. Пример 6.2. Найти моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей, параллельных основанию и высоте. Решение. dA – элементарная площадь; Аналогичное решение относительно оси у. Таким образом Пример 6.3. Найти моменты инерции круглого и кольцевого сечений. Решение. Площадь элементарного кольца радиусом ρ и толщиной dρ: A=⋅ d2 ρπdρ. Полярный момент инерции круга: Поскольку имеется связь I p = Iz + I y , а для круга Таким образом, полярный и осевые моменты инерции круга Обозначая с = – коэффициентом пустотелости, получим полярный и осевые моменты инерции кольца

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector