Момент силы через момент инерции

В динамике поступательного движения материальной точки кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы. При изучении динамики вращательного движения вводятся физические вели­чины — момент сил и момент инерции, физический смысл которых рас­кроем ниже.

Пусть некоторое тело под действием силы , приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО’ (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – К выводу понятия момента силы

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, назы­вают плечом силы. Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

(5.1)

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(5.2)

Единица момента силы — ньютон-метр. м). Направление вектора момента силы находиться с помощью пра­вила правого винта.

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Момент инерции материальной точки относительно оси враще­ния — произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси:

(5.3)

Момент инерции тела относительно оси вращениясумма мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокуп­ность точек с малыми массами dm, момент инерции определяется интег­рированием:

, (5.5)

где r — расстояние от оси вращения до элемента массой dm.

Если тело однородно и его плотность ρ = m/V, то момент инерции тела

(5.6)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих пра­вильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, прохо­дящей через центр инерции и перпендикулярной стержню,

(5.7)

Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(5.8)

Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относи­тельно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(5.9)

Момент инерции шара относительно диаметра

(5.10)

Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей че­рез центр инерции и перпендикулярной плоско­сти вращения. Пусть масса диска – m, а его радиус – R.

Площадь кольца (рисунок 5.2), заключенного между r и , равна .

Рисунок 5.2 – К выводу момента инерции диска

Площадь диска . При постоянной толщине кольца,

Читайте также:  Мини кассеты для камеры

откуда или .

Тогда момент инерции диска,

(5.11)

Для наглядности на рисунке 5.3 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 5.3 – Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел.

Теорема Штейнера

Приведенные выше формулы для моментов инерции тел даны при усло­вии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует восполь­зоваться теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J отно­сительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инер­ции тела, и величины md 2 :

(5.12)

где m — масса тела, d — расстояние от центра масс до выбранной оси вра­щения. Единица момента инерции — килограмм-метр в квадрате (кг . м 2 ).

Так, момент инерции однородного стержня длиной l относительно оси, про­ходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(5.13)

Дата добавления: 2017-01-08 ; просмотров: 24860 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Вращательное движение — вид механического движения. При вращательном движении абсолютно твёрдого тела его точки описывают окружности, расположенные в параллельных плоскостях. Центры всех окружностей лежат при этом на одной прямой, перпендикулярной к плоскостям окружности и называемой осью вращения. Ось вращения может располагаться внутри тела и за его пределами. Ось вращения может быть подвижной и неподвижной.

Аналогия между параметрами кинематики и динамики:

S ϕR путь
V ω Скорость – угловая скорость
a β Ускорение – угловое ускорение
F M=I*β Сила – момент силы
m I=km Масса – момент инерции
P=mV L=p*l Импульс – момент импульса
A=F*S A=M*ϕ Работа
W= W= Энергия

Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси a («осевой момент инерции») — физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где: — масса i-й точки, — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Теорема Штейнера

Момент инерции твёрдого тела вокруг произвольной оси равен моменту инерции тела вокруг оси, проходящей через центр массы данного тела параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Момент силы. Основной закон динамики вращательного движения.

Момент силы— векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр.

Читайте также:  Мегафон заграница без границ

Основным законом динамики вращательного движения является связь момента силы М с моментом инерции и угловым ускорением β:

Работа при вращательном движении тела

– момент силы относительно оси вращения z.

– векторное произведение.

Кинетическая энергия при вращательном движении

– момент инерции твердого тела, относительно оси z.

Моментом инерции материальной точки называется величина:

Величина I зависит от положения оси вращения и от распределения масс в теле.

Момент импульса. Закон сохранения момента импульса.

Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — скалярная величина.

Следует учесть, что вращение здесь понимается в широком смысле, не только как регулярное вращение вокруг оси. Например, даже при прямолинейном движении тела мимо произвольной воображаемой точки, оно также обладает моментом импульса. Наибольшую роль момент импульса играет при описании собственно вращательного движения.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент импульса частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением ее радиус-вектора и импульса:

где — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчета начала отсчёта, — импульс частицы.

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с.

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L:

Поскольку уравнение вращательного движения можно представить в виде:

Окончательно будем иметь:

Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется:

ΔL = 0, если M = 0.

Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось

Неупругое вращательное столкновение двух дисков.

Закон сохранения момента импульса: = ( +

Дата добавления: 2018-08-06 ; просмотров: 668 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудахАрхимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

Читайте также:  Мегафон обманы с интернетом

где — сила, действующая на частицу, а—радиус-вектор частицы.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количествовращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или JМоментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

11. Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этиммомент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

16.Постулаты специальной теории относительности.

Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законымеханики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector