Момент силы момент инерции момент импульса

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент) — векторная физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора (проведённого от оси вращения к точке приложения силы — по определению), на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело. В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В Международной системе единиц (СИ) единицей измерения момента силы является ньютон-метр. Момент силы иногда называют моментом пары сил, это понятие возникло в трудахАрхимеда над рычагами. В простейшем случае, если сила приложена к рычагу перпендикулярно ему, момент силы определяется как произведение величины этой силы на расстояние до оси вращения рычага. Например, сила в 3 ньютона, приложенная к рычагу на расстоянии 2 метров от его оси вращения, создаёт такой же момент, что и сила в 1 ньютон, приложенная к рычагу на расстоянии 6 метров до оси вращения. Более точно, момент силы частицы определяется как векторное произведение:

где — сила, действующая на частицу, а—радиус-вектор частицы.

Моме́нт и́мпульса (кинетический момент, угловой момент, орбитальный момент, момент количества движения) характеризует количествовращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение.

Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — псевдоскаляр.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется.

Момент инерции — скалярная (в общем случае — тензорная) физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или JМоментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

11. Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этиммомент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

16.Постулаты специальной теории относительности.

Специальная теория относительности (СТО; также частная теория относительности) — теория, описывающая движение, законымеханики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света. В рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Момент силы – величина, характеризующая вращательный эффект силы. При вращении АТТ вокруг неподвижной оси Oz проекция момента силы относительно любой точки О, лежащей на этой оси, который определяется векторным произведением радиуса-вектора проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы :

, (32)

совпадает с моментом силы Мzотносительно этой оси.

Если угловая скорость направлена по оси Ozи проекция момента силы на ось вращения положительна, то такой момент силы называют вращающим, иначе – тормозящим.

Момент инерции – величина, характеризующая распределение массы в теле и являющаяся мерой инертности тела при вращательном движении.

Читайте также:  Можно ли продать по доверенности самому себе

Моментом инерции тела относительно неподвижной оси Оz называется скалярная величина

(33)

где mi – масса i-й частицы тела;

ri – расстояние от i-й частицы тела до оси вращения Оz;

N – число частиц, из которых состоит тело.

Индекс «z» у момента инерции обозначает, что момент инерции определяется относительно оси Оz.

В случае непрерывного распределения массы тела сумма, стоящая в формуле (33), заменяется интегралом:

(34)

Определение интеграла (34) в общем случае представляет собой сложную задачу. Однако ситуация упрощается, когда нужно вычислить моменты инерции однородных симметричных тел относительно осей, проходящих через центры масс тел и являющихся осями симметрии.

Центр инерции (центр масс) АТТ (системы частиц) – это такая точка, координаты которой определяются из соотношений:

; (35) ; (36) . (37)

Скорость центра инерции (центра масс)АТТ (системы частиц)можно рассчитать по формуле:

. (38)

Результаты вычисления моментов инерции ряда тел правильной геометрической формы относительно оси Оz, проведенной через центр масс твердого тела, приведены в табл. 1.

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической

формы относительно оси, проходящей через их центр масс

Обруч (полый цилиндр) Диск (сплошной цилиндр) Шар Стержень

Если ось Оz не проходит через центр масс, то момент инерции определяется по теореме Гюйгенса-Штейнера:

(39)

где – момент инерции относительно оси вращения Оz;

– момент инерции относительно оси симметрии, параллельной оси Оz и проходящей через центр масс;

d – расстояние между осями;

Момент импульса (момент количества движения, кинетический момент) твердого тела – характеристика вращательного движения.

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижного центра О равен геометрической сумме моментов импульсов всех точек тела относительно того же центра:

(40)

Если абсолютно твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Оz, то

(41)

где – проекция момента импульса на ось Оz;

– момент инерции твердого тела относительно оси Оz.

41.(1) В плоскости yОz на частицу, координаты которой y = 4,1 м , z = 2,8 м, действует cила 6,3 Н, направленная под прямым углом к радиус-вектору частицы (рис. 2). Чему равен момент этой силы относительно точки О?

42.(1) По окружности радиусом 5,5 м (центр окружности – точка О) в плоскости yОz со скоростью 0,98 м/с движется частица массой 12 кг (рис.3.). Чему равен момент импульса этой частицы относительно точки О?

43.(2) Определить момент инерции тонкого кольца радиусом 20 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через любую точку на кольце.

44.(2) Найти момент импульса Земли относительно собственной оси вращения.

45.(2) Механическая система состоит из двух частиц, массы которых равны соответственно 0,12 г и 0,24 г. Первая частица находится в точке с координатами (3; 5; 0), вторая – в точке (6; 2; 0) (координаты даны в сантиметрах). Вычислить: 1) координаты центра масс; 2) скорость центра масс, если частицы начнут движение вдоль оси х навстречу друг другу каждая со скоростью 11 см/с относительно этой оси. Показать на чертеже положение центра масс и вектор скорости центра масс.

Дата добавления: 2015-11-05 ; просмотров: 1370 | Нарушение авторских прав

Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО’ (рис. 1.14).

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы. Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О:

Читайте также:  Лучшие блокировщики рекламы для яндекс браузера

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:

(3.1)
Единица момента силы — ньютон-метр (Н • м).

Направление М можно найти с помощью правила правого винта.

Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:

или в скалярном виде L = гPsinα

Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.

§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Моментом инерции материальной точки относительно оси враще­ния называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:

Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:

(3.3)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

· Момент инерции однородного стержняотносительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню

(3.6)

· Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(3.7)

· Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

(3.8)

· Момент инерции шара относительно диаметра

(3.9)

Рис.3.2

Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

(3.11)

[m — масса тела, d — расстояние от центра масс до выбранной оси вра­щения (расстояние между осями)].

Единица момента инерции — килограмм-метр в квадрате (кг • м 2 ).

Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

(3.12)

§ 3.3 Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Рассмотрим вначале материальную точку А массой m, движущуюся по окружности радиусом г (рис. 1.16). Пусть на нее действует постоянная сила F, направленная по касательной к окружности. Согласно второму закону Ньютона, эта сила вызывает тангенциальное ускорение или F = maτ.

Используя соотношение aτ = βr , получаем F = m βr.

Умножим обе части написанного выше равенства на r.

Fr = m βr 2 . (3.13)

Левая часть выражения (3.13) является моментом силы: М= Fr. Правая часть представляет собой произведение углового ускорения β на момент инерции материальной точки А: J= m r 2 .

Угловое ускорение точки при ее вращении вокруг неподвижной оси пропорционально вращающему моменту и обратно пропорционально моменту инерции (основное уравнение динамики вращательного движения материальной точки):

М = β J или (3.14)

При постоянном моменте вращающей силы угловое ускорение будет величиной постоянной и его можно выразить через разность угловых скоростей:

(3.15)

Тогда основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

или (3.16)

[ —момент импульса (или момент количества движения), МΔt — импульс момента сил (или импульс вращающего момента)].

Читайте также:  Медиаплеер встроенный в телевизор что это такое

Основное уравнение динамики вращательного движения можно записать в виде

(3.17)

§ 3.4 Закон сохранения момента импульса

Рассмотрим частый случай вращательного движения, когда суммарный момент внешних сил равен нулю. При вращательном движении тела каждая его частица движется с линейной скоростью υ = ωr, [r, — радиус окружности, которую описыва­ет частица массой m, ω — угловая скорость, одинаковая для всех точек тела].

Момент импульса вращающегося тела равен сумме моментов

импульсов отдельных его частиц:

(3.18)

Изменение момента импульса равно импульсу момента сил:

Если суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему тела относительно произвольной неподвижной оси, равен нулю, т.е. М=0, то dL и векторная сумма моментов импульсов тел системы не изменяется с течением времени.

Сумма моментов импульсов всех тел изолированной системы сохраняется неизменной (закон сохранения момента импульса):

d(Jω)=0 Jω=const (3.20)

Согласно закону сохранения момента импульса можно записать

где J1 и ω1 – момент инерции и угловая скорость в начальный момент времени, а и J2 и ω2 – в момент времени t.

Из закона сохранения момента импульса следует, что при М=0 в процессе вращения системы вокруг оси любое изменение расстояния от тел до оси вращения должно сопровождаться изменением скорости их обращения вокруг этой оси. С увеличением расстояния скорость вращения уменьшается, с уменьшением – возрастает. Например, гимнаст, совершающий сальто, чтобы успеть сделать в воздухе несколько оборотов, во время прыжка свёртывается клубком. Балерина или фигуристка, кружась в пируэте, разводит руки если хочет замедлить вращение, и, наоборот, прижимает их к телу, когда старается вращаться как можно быстрее.

§ 3.5 Кинетическая энергия вращающегося тела

Определим кинетическую энергию твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Разобьем это тело на n материальных точек. Каждая точка движется с линейной скоростью υi=ωri, тогда кинетическая энергия точки

или

Полная кинетическая энергия вращающегося твердого тела равна сумме кинетических энергий всех его материальных точек:

(3.22)

(J – момент инерции тела относительно оси вращения)

Если траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях (как у цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости, каждая точка перемещается в своей плоскости рис ), это плоское движение. В соответствии с принципом Эйлера плоское движение всегда можно бесчисленным количеством способов разложить на поступательное и вращательное движение. Если шарик падает или скользит вдоль наклонной плоскости, он двигается только поступательно; когда же шарик катится – он ещё и вращается.

Если тело совершает поступательное и вращательное движения одновременно, то его полная кинетическая энергия равна

(3.23)

Из сопоставления формул кинетической энергии для поступательно­го и вращательного движений видно, что мерой инертности при враща­тельном движении служит момент инерции тела.

§ 3.6 Работа внешних сил при вращении твёрдого тела

При вращении твёрдого тела его потенциальная энергия не изменяется, поэтому элементарная работа внешних сил равна приращению кинетической энергии тела:

ΔA = ΔE или

Учитывая, что Jβ = M, ωdr = dφ, имеем

Работа внешних сил при повороте твёрдого тела на конечный угол φ равна

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси работа внешних сил определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если момент сил относительно оси равен нулю, то эти силы работы не производят.

| следующая лекция ==>
СУЩНОСТЬ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ЛИТЬЯ | Строение среднего уха.

Дата добавления: 2017-03-12 ; просмотров: 16004 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector