Монотонные функции алгебры логики

Определение. Булева функция f(x1, …, xn) называется монотонной (принадлежит классу M), если для любой пары наборов α и β таких, что αβ, выполняется условие f(α)≤ f(β) (назовем его условием монотонности).

Примеры. Исследуем мажоритарную булеву функцию.

Перебор пар начнем с наборов α=000 и β=001: для них αβ и выполнено условие монотонности f(000)=f(001). Отметим, что набор α таков, что любой другой набор β является последователем α, и, казалось бы, следует анализировать каждую из этих пар. Однако f(α)=0, поэтому условие f(α)≤ f(β) будет выполнено для любого набора β. Значит, в качестве α достаточно рассмотреть лишь те наборы, на которых функция принимает значение единица: 011, 101, 110 и 111. Кроме того, наборы в таблице истинности расположены в естественном порядке, значит, наборы –последователи лежат ниже предшественников. Набор α=011 имеет единственного последователя β=111 и f(011)=f(111), то есть условие монотонности для этой пары не нарушено. Рассмотрим остальные возможные пары наборов: α=101, β=111 и α=110, β=111 (набор α=111 последователей не имеет). Для них условие монотонности также не нарушено. Значит, мажоритарная функция монотонна.

Из элементарных булевых функций монотонными являются, например, конъюнкция и дизъюнкция. Не являются монотонными, например, штрих Шеффера и стрелка Пирса. •

В общем случае набор имеет несколько последователей, и для всех таких пар надо проверять выполнение условия монотонности. Чтобы сформулировать более простой алгоритм распознавания монотонной функции, докажем утверждение, которое к тому же будет использовано при доказательстве леммы о немонотонной функции.

Утверждение о условии немонотонности. Для любой пары наборов α и β таких, что αβ и f(α) > f(β), найдется пара соседних наборов α’, β’ с теми же свойствами: α’β’ и f(α’) > f(β’).

Доказательство. Если α и β – соседи, то утверждение верно (α’=α, β’=β). Иначе вычислим расстояние d (по Хэммингу) между наборами α=a1… an и β=b1… bn и начнем строить цепочку наборов γ, …, γd такую, что

и любые два расположенных рядом набора γi –1i (i=1, …, d) являются соседями. Очередной набор γi получим из предыдущего набора γi –1 заменой значения одной из ортогональных компонент наборов γi –1 и β (это будет замена 0 на 1, так как αβ), затем проверим условие немонотонности f(γi –1)>f(γi). Если оно выполнено, утверждение доказано (α’=γi –1, β’=γi). Иначе получим и исследуем очередной набор. В худшем случае, когда постоянно выполняется условие монотонности, имеем

Читайте также:  Лучший интернет магазин обуви отзывы

но тогда f(γd –1)=1 и f(β)=0, значит, условие немонотонности выполнится для последней пары: α’=γd –1 и β’=γd=β. •

Пример. Пусть задана пара булевых векторов , тогда цепочка соседей может иметь следующий вид:

Если f(α)>f(β), то смена значения функции с 1 на 0 произойдет по крайней мере на одной из четырех пар соседей. •

Алгоритм распознавания монотонной булевой функции (основан на утверждении о условии немонотонности).

Начало. Задана таблица истинности булевой функции.

Шаг 1. Сравниваем значения функции на наборах, соседних по первой переменной, то есть верхнюю половину столбца значений функции (вектор φ1) с нижней половиной (вектор φ1). Если условие φ1φ1 нарушено, то функция не монотонна, идем на конец.

Шаг 2. Сравниваем значения функции на наборах, соседних по второй переменной, то есть верхние четвертины столбца значений функции (векторы φ’2, φ”2) с нижними четвертинами (векторами φ’2, φ”2) в каждой половине. Если хотя бы одно из условий φ’2φ’2 и φ”2φ”2нарушено, то функция не монотонна, идем на конец.

Шаги 3 –n. Аналогично сравниваем восьмые, шестнадцатые части, и так далее. Если ни одно из проверяемых условий не нарушено, то функция монотонна.

Примеры. Рассмотрим две булевых функции (первая – мажоритарная).

Проверим на монотонность мажоритарную функцию. Сравниваем половины столбца значений: φ1=0001 0111=φ1. Сравниваем четвертины: φ’2=00 01=φ’2, φ”2=01 11=φ”2. Сравниваем осьмушки: 0 0 , 0 1, 0 1 , 1 1 . Следовательно, мажоритарная функция монотонна.

Проверим на монотонность функцию g(x,y,z). Сравниваем половины столбца значений: φ1=0110 0111=φ1. Сравниваем четвертины: так как φ’2=01 не предшествует φ’2=10, функция g(x,y,z) не монотонна. •

Теорема о замкнутости класса M. Множество всех монотонных булевых функций является замкнутым классом.

Доказательство. Рассмотрим суперпозицию любых булевых функций из M, то есть функцию

Читайте также:  Можно ли восстановить несохраненный документ в ворде

и покажем, что она монотонна. Подставим в суперпозицию любую пару наборов α и β таких, что αβ, получим:

где γ и δ – булевы векторы. Так как αβ, и булевы функции f1(x1, …, xn), …, fm(x1, …, xn) монотонны, то γδ. Поскольку функция f(y1, …, ym) также монотонна, то f(γ)≤ f(δ), следовательно, f(α)≤ f(β), то есть f(x1, …, xn) монотонна, и класс M замкнут. •

Лемма о немонотонной булевой функции. Если булева функция немонотонна, то из нее подстановкой вместо аргументов констант 0 и 1 и переменной x можно получить инверсию переменной x .

Доказательство. Рассмотрим немонотонную функцию f(x1, …, xn). Согласно утверждению о условии немонотонности, существует пара соседних наборов α=a1… an и β=b1… bn таких, что αβ и f(α) > f(β), то есть

Пусть α и β – соседи по k –й компоненте, тогда

Подставим в функцию f(x1, …, xn) вместо каждого аргумента xi либо константу ai, если i ≠ k, либо переменную x, если i = k (подстановка константы и переменной допустима по условию теоремы). В результате получим функцию одного аргумента

Покажем, что g(x)= x :

Итак, инверсия x получена. •

Пример. Рассмотрим функцию f(y,z) = y ↓ z.

Она немонотонна, так как существует пара наборов α=00 и β=10 таких, что αβ и f(α)>f(β). Так как α и β – соседи по первой компоненте, то, согласно доказательству леммы, положим y=x и подставим вместо z константу 0, получим:

Монотонная булева функция — булева функция, которая монотонно возрастает (точнее не убывает) по каждому аргументу. Класс всех монотонных булевых функций является одним из пяти предполных классов.

Определение [ править | править код ]

Булева функция называется монотонной, если из того, что она принимает значение 1 <displaystyle 1> на некотором наборе аргументов a <displaystyle a> , следует, что она принимает значение 1 <displaystyle 1> на всяком наборе аргументов b <displaystyle b> , который получается из набора аргументов a <displaystyle a> путём замены произвольного числа нулей на единицы [1] .

Говорят, что набор α

= ( α 1 , . . . α n ) <displaystyle < ilde <alpha >>=(alpha _<1>. alpha _)> предшествует набору β

= ( β 1 , . . . β n ) <displaystyle < ilde <eta >>=(eta _<1>. eta _)> ( α

Читайте также:  Максимальная температура gtx 660

В случае, когда ни одно из этих соотношений не выполняется, наборы называются несравнимыми.

Булева функция f ( x

Множество всех монотонных функций алгебры логики обозначается через M <displaystyle M> , а множество всех монотонных булевых функций, зависящих от n <displaystyle n> переменных M ( n ) <displaystyle M^<(n)>>

Пример я сам придумал, поэтому здесь, да, всё очевидно.

Но вот если в нём разделить вектор значений пополам и сравнивать 1101 и 1110, то несмотря на предшествование эти наборы не сравнимы.

Но вот если в нём разделить вектор значений пополам и сравнивать 1101 и 1110, то несмотря на предшествование эти наборы не сравнимы.

Ну вот!
Если они не сравнимы, значит функция немонотонна.
Т.е. несравнимость этих половинок означает, что на некоторых наборах значений переменных условие монотонности выполняется, а на некоторых нет.
Причем наборы значений переменных здесь попарно сравнимы.

Всё таки не до конца понятно, но тем не менее, уже ближе к цели.

Спасибо за ответ!

mad-math, ну, задайте вопросы )
Я с удовольствием отвечу.
Давайте так. Вот таблица для вашей функции.
000 1
001 1
010 0
011 1
100 1
101 1
110 1
111 0

Сравним первую строку с пятой, вторую с шестой, третью с седьмой, четвертую с восьмой.
Имеем:
1) 000 – 0 – условие монотонности НЕ выполняется

Что мы видим?
Во-первых, мы видим, что все взятые наборы переменных сравнимы и значит сравнение значений функции на них легитимно.
Во-вторых мы видим, что если бы функция была монотонна, то две половинки вектора значений были бы сравнимы. Потому что под номерами 1), 2), 3), 4) после точки с запятой как раз выполняется поэлементное сравнение первой и второй половин вектора f.

Сравнимость этих половинок необходимое, но не достаточное условие. Теперь нужно то же самое проделать для наборов значений переменных, отличающихся второй координатой и третьей.

Спасибо большое за желание помочь, просто мне неудобно напрягать людей.

Сейчас распишу мои размышления. Поправьте, если я где-то ошибаюсь.

Пусть есть функция `f(0001 0010)`.

Условие `(0001) preceq (0010) ` может быть переписано в виде системы:
` <(0 URL

  • Профиль

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector