Мощность отрезка 0 1

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными.

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.

Пусть множество точек отрезка [0, 1] счетно. Значит, эти точки можно перенумеровать, т. е. расположить в виде последовательности x1, x2 … xn, … .

Разобьем отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы ни находилась точка x1, она не может принадлежать всем отрезкам , , . Поэтому среди них есть отрезок D1, не содержащий точку x1 (рис. 1.7). Возьмем этот отрезок D1 и разделим его на три равные части. Среди них всегда есть отрезок D2, не содержащий точку x2. Разделим этот отрезок на три равные части и т. д. Получим последовательность отрезков D1 É D2 É D3 É…ÉDn É… . В силу аксиомы Кантора сходится к некоторой точке x при n ® ¥. По построению эта точка x принадлежит каждому отрезку D1, D2, D3,…, Dn, …, т. е. она не может совпадать ни с одной из точек x1, x2, … xn, …, т. е. последовательность x1, x2 … xn, …не исчерпывает всех точек отрезка [0, 1], что противоречит первоначальному предположению. Теорема доказана.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума.

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Из рис. 1.8 следует, что множество точек параболы y = x 2 эквивалентно множеству точек прямой –¥

Теорема о множествах высшей мощности. Множество всех подмножеств данного множества имеет более высокую мощность, чем данное множество.

Из этой теоремы следует, что множеств с максимально большой мощностью не существует.

Читайте также:  Морг расшифровка аббревиатуры википедия

ТЕМА 2. ОТНОШЕНИЯ. ФУНКЦИИ

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9123 – | 7290 – или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)

очень нужно

Определение 2. Множество Е действительных чисел называют также числовым континуумома его мощность — мощностью континуума.

Теорема (Кантор).

Теорема утверждает, что бесконечное множество Е имеет мощность большую, чем бесконечное множество

Покажем, что уже множество точек отрезка [0,1] несчетно.

Предположим, что оно счетно, т. е. может быть записано в виде последовательности Возьмем точку и на отрезке фиксируем отрезок ненулевой длины, не содержащий точку . В отрезке строим отрезок 12, не содержащий и если уже построен отрезок то, поскольку в нем строим отрезок так, что По лемме о вложенных отрезках найдется точка с, принадлежащая всем отрезкам Но эта точка отрезка по построению не может совпадать ни с одной из точек последовательности

Следствия. и существуют иррациональные числа.

2) Существуют трансцендентные числа, поскольку множество алгебраических чисел счетно.

(После решения задачи 3, помещенной в конце параграфа, читатель, наверное, захочет переиначить последнее утверждение и сформулировать его так: «В множестве действительных чисел иногда встречаются также и алгебраические

Уже на заре теории множеств возник вопрос о том, существуют ли множества промежуточной мощности между счетными множествами и множествами мощности континуума, и было высказано предположение, называемое гипотезой континуума, что промежуточные мощности отсутствуют.

Вопрос оказался глубоко затрагивающим основания математики. Он был окончательно решен в 1963 г. современным американским математиком П. Коэном. Коэн доказал неразрешимость гипотезы континуума, показав, что и она сама, и ее отрицание порознь не противоречат принятой в теории множеств аксиоматике, а потому гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках этой аксиоматики, — ситуация, вполне аналогичная независимости пятого постулата Евклида о параллельных от остальных аксиом геометрии.

Читайте также:  Метод конечных элементов теплопроводность

Конти́нуум в теории множеств — мощность (или кардинальное число) множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой c во фрактурном начертании: c <displaystyle <mathfrak >> . Множество, имеющее мощность континуум, называется континуа́льным [ источник не указан 559 дней ] множеством.

Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

Свойства [ править | править код ]

  • Континуум является бесконечной мощностью (алефом), превосходящей мощность счётного множества ℵ 0 <displaystyle aleph _<0>>. Любое континуальное множество содержит счётное подмножество.
  • Континуум — мощность булеана счётного множества.
  • Континуум не меньше, чем мощность множества всех счётных ординалов ℵ 1 <displaystyle aleph _<1>>. Любое континуальное множество содержит подмножество мощности ℵ 1 <displaystyle aleph _<1>>. Предположение о том, что c = ℵ 1 <displaystyle <mathfrak >=aleph _<1>>называется континуум-гипотезой.
  • Мощность объединения не более чем континуального семейства множеств, каждое из которых не более чем континуально, не превосходит континуума.
  • При разбиении континуального множества на конечное или счётное число частей хотя бы одна из частей будет иметь мощность континуум. Как следствие, конфинальность континуума — несчётна.

Примеры [ править | править код ]

Примеры множеств, имеющих мощность континуум:

  • Все точки отрезка [ 0 , 1 ] <displaystyle [0,1]>.
  • Все точки плоскости R 2 <displaystyle mathbb ^<2>>(или R n <displaystyle mathbb ^>), например — множество всех комплексных чисел.
  • Множество всех иррациональных чисел.
  • Множество всех трансцендентных чисел.
  • Множество всех подмножеств счётного множества.
  • Множество всех частичных порядков на счётном множестве.
  • Множество всех счётных множествнатуральных чисел.
  • Множество всех счётных множеств вещественных чисел.
  • Множество всех непрерывных функций R → R <displaystyle mathbb o mathbb >.
  • Множество всех открытых подмножеств плоскости R 2 <displaystyle mathbb ^<2>>(или R n <displaystyle mathbb ^>).
  • Множество всех замкнутых подмножеств плоскости R 2 <displaystyle mathbb ^<2>>(или R n <displaystyle mathbb ^>).
  • Множество всех борелевских подмножеств плоскости R 2 <displaystyle mathbb ^<2>>(или R n <displaystyle mathbb ^>).
  • Канторово множество

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector