Муавра лапласа таблица как пользоваться

1.10. Теоремы Муавра-Лапласа

Пусть в каждом из независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью , (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через вероятность ровно появлений события А в испытаниях. кроме того, пусть – вероятность того, что число появлений события А находится между и .

Локальная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

где – функция Гаусса (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Интегральная теорема Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

P(n; k1, k2) где – функция Лапласа (функция табулирована, таблицу можно скачать на странице формул по теории вероятностей).

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

а)

б) при больших верно .

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при . Причем чем ближе значения к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).

Примеры решений задач

Пример. Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Решение. По условию , откуда

По таблицам найдем .

Искомая вероятность равна:

Пример. В продукции некоторого производства брак составляет 15%. Изделия отправляются потребителям (без проверки) в коробках по 100 штук. Найти вероятности событий:

В – наудачу взятая коробка содержит 13 бракованных изделий;

С – число бракованных изделий в коробке не превосходит 20

Решение. Изготовление детали – это испытание, в котором может появиться событие А – изделие бракованное – с вероятностью . Находим . Можно применять формулы Лапласа:

Приблизительно 9,5% всех коробок содержат 13 бракованных изделий и в 92% коробок число бракованных не превосходит 20.

Пример. Небольшой город ежедневно посещают 100 туристов, которые днем идут обедать. Каждый из них выбирает для обеда один из двух городских ресторанов с равными вероятностями и независимо друг от друга. Владелец одного из ресторанов желает, чтобы c вероятностью приблизительно 0,99 все пришедшие в его ресторан туристы могли там одновременно пообедать. Сколько мест должно для этого быть в его ресторане?

Читайте также:  Момент инерции для диска вывод формулы

Решение. Будем считать, что событие произошло, если турист пообедал у заинтересованного владельца. По условию задачи , . Нас интересует такое наименьшее число посетителей , что вероятность одновременного прихода не менее чем туристов из числа с вероятностью успеха приблизительно равна вероятности переполнения ресторана, т.е. .

Таким образом, нас интересует такое наименьшее число , что . Применим интегральную теорему Муавра-Лапласа.

В нашем случае: ­– неизвестно, , , . Тогда

Используя таблицы для функции , находим, , и, значит, . Следовательно, в ресторане должно быть 62 места.

Таблица значений функции Лапласа – это вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее заданному интервалу. При решении задач по теории вероятности, как правило, требуется найти значение функции Лапласа по известному значению аргумента или, наоборот, по известному значению функции Лапласа требуется найти значение аргумента. Для этого пользуются таблицей значений функции Лапласа. Таблица значений функции Лапласа незаменима при изучении теории вероятности, так как решать интеграл (функцию Лапласа) сложно, а запомнить таблицу значений функции Лапласа просто невозможно.

Функцию Лапласа и данную таблицу чаще всего изучают на втором курсе университета, при изучении математики и теории вероятности, если Вам в данной теме, что-то не понятно, то Вы всегда можете задать вопрос на нашем форуме, мы будем рады вам помочь. Пользуйтесь нашим сайтом и таблицей на здоровье.

Функция Лапласа

При разных значениях t; F(–t) = –F(t) (функция нормального распределения).

27 октября 2011

  • Материалы к уроку
  • Таблица значений функции Гаусса

Рассмотрим последовательность из $n$ независимых опытов, в каждом из которых событие $A$ может произойти с вероятностью $p$, либо не произойти — с вероятностью $q=1-p$. Обозначим через P n ( k ) вероятность того, что событие $A$ произойдет ровно $k$ раз из $n$ возможных.

Читайте также:  Можно ли вернуть деньги с сим карты

В таком случае величину P n ( k ) можно найти по теореме Бернулли (см. урок «Схема Бернулли. Примеры решения задач»):

Эта теорема прекрасно работает, однако у нее есть недостаток. Если $n$ будет достаточно большим, то найти значение P n ( k ) становится нереально из-за огромного объема вычислений. В этом случае работает Локальная теорема Муавра — Лапласа, которая позволяют найти приближенное значение вероятности:

. Если в схеме Бернулли число $n$ велико, а число $p$ отлично от 0 и 1, тогда:

Функция φ ( x ) называется . Ее значения давно вычислены и занесены в таблицу, которой можно пользоваться даже на контрольных работах и экзаменах.

Функция Гаусса обладает двумя свойствами, которые следует учитывать при работе с таблицей значений:

  1. φ (− x ) = φ ( x ) — функция Гаусса — четная;
  2. При больших значениях x имеем: φ ( x ) ≈ 0.

Локальная теорема Муавра — Лапласа дает отличное приближение формулы Бернулли, если число испытаний n достаточно велико. Разумеется, формулировка «число испытаний достаточно велико» весьма условна, и в разных источниках называются разные цифры. Например:

  1. Часто встречается требование: n · p · q > 10. Пожалуй, это минимальная граница;
  2. Другие предлагают работать по этой формуле только для $n > 100$ и n · p · q > 20.

На мой взгляд, достаточно просто взглянуть на условие задачи. Если видно, что стандартная теорема Бернулли не работает из-за большого объема вычислений (например, никто не будет считать число 58! или 45!), смело применяйте Локальную теорему Муавра — Лапласа.

К тому же, чем ближе значения вероятностей $q$ и $p$ к 0,5, тем точнее формула. И, наоборот, при пограничных значениях (когда $p$ близко к 0 или 1) Локальная теорема Муавра — Лапласа дает большую погрешность, значительно отличаясь от настоящей теоремы Бернулли.

Однако будьте внимательны! Многие репетиторы по высшей математике сами ошибаются в подобных расчетах. Дело в том, что в функцию Гаусса подставляется довольно сложное число, содержащее арифметический квадратный корень и дробь. Это число обязательно надо найти еще до подстановки в функцию. Рассмотрим все на конкретных задачах:

Задача. Вероятность рождения мальчика равна 0,512. Найдите вероятность того, что среди 100 новорожденных будет ровно 51 мальчик.

Итак, всего испытаний по схеме Бернулли n = 100. Кроме того, p = 0,512, q = 1 − p = 0,488.

Читайте также:  Макет календаря в фотошопе

Поскольку n = 100 — это достаточно большое число, будем работать по Локальной теореме Муавра — Лапласа. Заметим, что n · p · q = 100 · 0,512 · 0,488 ≈ 25 > 20. Имеем:

Поскольку мы округляли значение n · p · q до целого числа, ответ тоже можно округлить: 0,07972 ≈ 0,08. Учитывать остальные цифры просто нет смысла.

Задача. Телефонная станция обслуживает 200 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение одного часа он позвонит на станцию, равна 0,02. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят ровно 5 абонентов.

По схеме Бернулли, n = 200, p = 0,02, q = 1 − p = 0,98. Заметим, что n = 200 — это неслабое число, поэтому используем Локальную теорему Муавра — Лапласа. Для начала найдем n · p · q = 200 · 0,02 · 0,98 ≈ 4. Конечно, 4 — это слишком мало, поэтому результаты будут неточными. Тем не менее, имеем:

Округлим ответ до второго знака после запятой: 0,17605 ≈ 0,18. Учитывать больше знаков все равно не имеет смысла, поскольку мы округляли n · p · q = 3,92 ≈ 4 (до точного квадрата).

Задача. Магазин получил 1000 бутылок водки. Вероятность того, что при перевозке бутылка разобьется, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит ровно две разбитых бутылки.

По схеме Бернулли имеем: n = 1000, p = 0,003, q = 0,997. Отсюда n · p · q = 2,991 ≈ 1,73 2 (подобрали ближайший точный квадрат). Поскольку число n = 1000 достаточно велико, подставляем все числа в формулу Локальной теоремы Муавра — Лапласа:

Мы сознательно оставляем лишь один знак после запятой (на самом деле там получится 0,1949. ), поскольку изначально использовали довольно грубые оценки. В частности: 2,991 ≈ 1,73 2 . Тройка в числителе внутри функции Гаусса возникла из выражения n · p = 1000 · 0,003 = 3.

Читайте также:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Adblock detector